שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4

שאלה בקשר ל1 ה.

הגעתי לביטוי עם n שתמיד קטן מאחד, בחזקת n. מותר לי להגיד, על פי התזכורת, שהסדרה מתכנסת לאפס, כי הביטוי בחזקת n הוא תמיד קטן מאחד כמו שאלפה בתזכורת תמיד קטנה מאחד? תודה!

תשובה

אם זה ביטוי קבוע שקטן מאחד בחזקת n אז זה בדיוק התזכורת ואז זה מותר. אם מדובר על ביטוי שקטן מאחד אבל משתנה (למשל [math]\displaystyle{ (1-\frac{1}{n})^n }[/math]) אז אסור לומר את זה (כי זה לא נכון, כמו בדוגמא הזו). --ארז שיינר 13:38, 2 בנובמבר 2010 (IST)

לא דיברתי על ביטוי קבוע (כי זה בדיוק התזכורת) אלא על משהו לא קבוע כמו בדוגמה שלך. אבל למה זה לא נכון? ואיך אפשר לפתור את 1 ה. בלי זה? תודה!

מה הכוונה ב'למה זה לא נכון'? כי הדוגמא שנתתי היא דוגמא נגדית, הרי היא שואפת ל[math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] ולא לאפס. כן נכון לומר שאם סדרה שואפת לאפס, אז בחזקה כלשהי (במיוחד כזו שעולה) היא תשאף לאפס. דרך אחרת היא כן להשוות בין הסדרה הזו לבין סדרה עם קבוע בחזקת n ואז להפעיל את חוק הסנדביץ. --ארז שיינר 11:18, 3 בנובמבר 2010 (IST)

2 דברים: -אמרת שאם סדרה שואפת לאפס אז בחזקה כלשהי היא גם שואפת לאפס (זה די מה שהייתי צריך)- על פי מה זה נכון? האם צריך לנמק את זה, ואם כן איך מנמקים את זה? -לא הבנתי איך קשור חוק הסנדביץ'? תודה רבה!

אם סדרה שואפת לאפס אז החלק ממקום מסויים היא קטנה מאחד. החלק מהמקום הזה העלאה שלה בחזקה רק יקטין אותה עוד יותר, ואז לפי חוק הסנדביץ גם הסדרה בחזקה שואפת לאפס. יש עוד קשר לחוק הסנדביץ בדרך פתרון אחרת שתראו בתשובות. --ארז שיינר 12:16, 3 בנובמבר 2010 (IST)

המותר להגיד שהחל ממקום מסוים החזקה רק תקטין את הסדרה עוד יותר ואז לפי חוק הסנדביץ גם הסדרה הנתונה שואפת לאפס?

צריך לפרט מדוע. --ארז שיינר 12:45, 3 בנובמבר 2010 (IST)

אני לא מבין למה אתה מתכוון- אם צריך להשתמש בחוק הסנדביץ', הרי צריך למצוא 2 סדרות, אחת קטנה יותר ואחת גדולה יותר. אתה רומז שאני צריך למצוא סדרה נוספת שגדולה מהסדרה שדיברנו עליה?

אני לא מבין את השאלה, חזרת על הטיעון שלי רק שהשתמטת כמה מילים. רק צריך להסביר שזה קטן יותר מהסדרה עם הקבוע בחזקת n והיא שואפת לאפס ולכן זהו. --ארז שיינר 23:07, 3 בנובמבר 2010 (IST)

למה זהו?? בחוק הסנדביץ צריך 3 סדרות ולא 2, אחת גדולה יותר ואחת קטנה. אני רק מצאתי סדרה קטנה יותר ששואפת לאפס, מה עם גדולה יותר?

נראה לי שהבנתי, לא משנה, תודה.

תרגול 4 שאלה 5

האם מתקיים תמיד: lim sup an+bn <= lim sup an + lim inf bn ??

תשובה

אני מניח שאתה מתכוון רק לlim sup הרי זה נוסח השאלה. בכל מקרה אם אתה רוצה לומר את זה אתה צריך להוכיח את זה (זכרו שlim sup הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, ויש תת סדרה ששואפת אליו). --ארז שיינר 22:54, 2 בנובמבר 2010 (IST)

תרגול 4 שאלה 2

הסעיפים a,b,c הם תתי שאלות שצריך לפתור או שלבים בדרך לפתרון? אם הם שלבים בדרך לפתרון, האם הם טיפים או שחייבים להוכיח בדרך הזאת?

תשובה

חייבים לפתור את הסעיפים ולענות על השאלה בדרך של הסעיפים. --ארז שיינר 00:24, 3 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 4

אינסוף פחות מספר מסוים הוא עדיין אינסוף נכון? ואם כן אז אני יכולה להגיד שאינסוף חלקי אינסוף זה 1?

תשובה

סדרה ששואפת לאינסוף פחות סדרה ששואפת למספר קבוע זה אכן שואף לאינסוף. אינסוף חלקי אינסוף ממש לא חייב להיות אחד. דוגמאות:

• [math]\displaystyle{ \frac{2n}{n}\rightarrow 2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{n}\rightarrow\infty }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{n}{n^2}\rightarrow 0 }[/math]

• גבול לא קיים: [math]\displaystyle{ \frac{(2+(-1)^n)n}{n} }[/math]

--ארז שיינר 16:03, 3 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 8

האם אני יכולה להוכיח שלסדרה חסומה קיימת תת סדרה מונוטונית באזרת הלמה של קנטור?

תשובה

בדרך מאד לא ישירה. הרי השתמשנו בלמה של קנטור על מנת להוכיח משפט על סדרות חסומות. אין צורך לחזור על ההוכחה למשפט. --ארז שיינר 16:23, 3 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה בקשר ל[math]\displaystyle{ e }[/math]

האם אפשר להניח ש [math]\displaystyle{ (1+\frac{k}{a_n})^{a_n}\rightarrow e^{k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_n \rightarrow \infty }[/math] ו [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{R} }[/math] או שיש צורך להוכיח את זה מהגדרת [math]\displaystyle{ e }[/math]?

תשובה

זה בדיוק מה שצריך להוכיח בתרגיל 3 שאלה 2, אי אפשר להניח פשוט שזה נכון. --ארז שיינר 23:17, 3 בנובמבר 2010 (IST)

אבל לאחר שהוכחנו את זה כבר בתרגיל 3, מותר להשתמש בזה בלי להוכיח? [אלא אם זו השאלה כמובן]

אה, שכחתי מתרגיל 4 (: אין צורך להוכיח את זה שוב, מותר להניח את התוצאה מתרגיל 3. --ארז שיינר 00:58, 4 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 8

אוקיי אז ככה, אני צריך להוכיח שעבור כל סדרה מתכנסת יש לה תת סדרה מונוטונית. עכשיו זה מאוד קל להבין למה זה קורה אבל להוכיח זה סיפור אחר. אני יודע שכדי להוכיח שסדרה היא מונוטונית צריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ a_n \gt a_(n+1) }[/math] או [math]\displaystyle{ a_n \lt a_(n+1) }[/math] לכל n.

עכשיו, ע"פ משפט בולצנו ויירשטראס לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת. אז בתכלס כל מה שנשאר לי להוכיח זה שלכל סדרה מתכנסת יש תת סדרה מונוטונית וסגרתי את הפינה הזאת. אז אני יכול לומר שאם סדרה מתכנסת ל-L אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-L ואז יש אינסוף איברי סדרה או גדולים או קטנים מ-L. אם נניח שיש אינסוף גדולים מ-L אז חייב להיות עבור כל איבר בסדרה, עוד איבר שקטן ממנו שיותר קרוב לגבול (שעדיין גדול מהגבול), אחרת הוא לא היה הגבול. אותו עיקרון אם יש אינסוף איברים שקטנים מ-L. וזה בתכלס ההוכחה שלי, רק שאני לא יודע לכתוב את זה בכתיב מתמטי!!! נא עזרה.

ניקח איבר גדול מL כלשהו, נקרא לו [math]\displaystyle{ a_{n_1} }[/math] עכשיו, הוא נמצא במרחק [math]\displaystyle{ a_{n_1}-L }[/math] מL. לכן אם ניקח [math]\displaystyle{ \epsilon =a_{n_1}-L }[/math] מה יקרה? --ארז שיינר 01:05, 5 בנובמבר 2010 (IST)

בשאלה המדוברת התבקשנו להוכיח כי לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מונוטונית, לא לכל סדרה מתכנסת. -לידור.א.- 11:40, 5 בנובמבר 2010 (IST)

נכון, אבל תת סדרה של תת סדרה היא תת סדרה של הסדרה המקורית. --ארז שיינר 11:56, 5 בנובמבר 2010 (IST)

בנושא אחר בעניין אותה שאלה, בהרצאה הוכחנו כי לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית. אז למה נחוץ הנתון כי הסדרה מתכנסת? -לידור.א.- 13:14, 5 בנובמבר 2010 (IST)

האם אתה מתכוון לנתון שהסדרה חסומה? הוא נמצא שם רק על מנת לכוון אתכם, ברור שלסדרה שאינה חסומה יש תת סדרה מונוטונית (זו ששואפת לאינסוף או מינוס אינסוף). אפשר להוכיח בכמה דרכים שונות בכל מקרה. --ארז שיינר 14:13, 5 בנובמבר 2010 (IST)

כן, התכוונתי לנתון שהסדרה חסומה. -לידור.א.- 15:08, 5 בנובמבר 2010 (IST)

תרגול 4 שאלה 6

הבנתי איך הסדרה נראת והגעתי למסקנה שהיא יכולה להיות שלילית או חיובית. 1. האם אפשר לצאת מנק' הנחה שהיא יכולה להיות או שלילית או חיובית, ובכל מקרה הגבולות החלקיים שלה הם שונים? 2. האם אינסוף או מינוס אינסוף זה נקרא גבול חלקי? 3. אני מנסה להוכיח באינדוקציה את המשוואות של an שהגעתי אליהן אבל מכיוון שאחת מתייחסת ליחס בין איבר זוגי לזה שאחריו והשניה ליחס בין איבר יא-זוגי לזה שאחריו אז אני לא מצליחה להוכיח (אלא אם כן אני יכולה לצאת מנק' הנחה שהמשוואה הראשונה מתייחסת לאיבר זוגי והשניה לאיבר אי-זוגי?)?

תודה! שבת שלום!

תשובה

1. אני לא מבין מה זה אומר שלילית או חיוביות, אבל בכל מקרה צריך ממש למצוא את הגבולות החלקיים.

2. כן

3. רושמים את המשוואות שמשערים - למשל [math]\displaystyle{ a_{2n}=n^2 }[/math] ואז מוכיחים אותן באינדוקציה אחת אחת.

--ארז שיינר 11:55, 5 בנובמבר 2010 (IST)

בהמשך לשאלה 6

1. התכוונתי עולה או יורדת (לא שלילית או חיובית... סליחה).

2. אם בשביל האינדוקציה אני יכולה להשתמש בנוסחאות נסיגה כנתון בשביל להוכיח את המשוואה an שמצאתי?

תשובה

ברור שאפשר להשתמש בנתון כנתון, אז כן. --ארז שיינר 12:37, 5 בנובמבר 2010 (IST)

בהמשך לשאלה 6

בקשר לזה שיצא לי 2 מקרים או עולה או יורדת.. אם אני לא מצליחה לבדוק שרק מקרה אחד מתקיים אז אפשר להגיד שמתקיימים 2 מקרים (פעם היא עולה ופעם היא יורדת) ולכתוב בכל מקרה מהם הגבולות החלקיים שלו?

תשובה

אני לא מבין מה הכוונה ב'מקרים'. אם יש תתי סדרות שונות ששואפות לגבולות שונים אלו הם גבולות חלקיים (כפי שלמדנו), אין פה ניחושים - צריך להוכיח . יש להוכיח, בנוסף, שאלה הגבולות החלקיים היחידים (כלומר אין גבולות חלקיים אחרים. עשינו תרגיל בדיוק כזה בכיתה. --ארז שיינר 14:29, 5 בנובמבר 2010 (IST)

הגדרת גבול של סדרה

הייתי בתרגולים והרצאות עם 4 מרצים שונים, ויש חלק שאומרים ככה וחלק ככה: גבול L של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הוא:

לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n גדול מ-N מתקיים...

או

לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n גדול-שווה מ-N מתקיים...

מה נכון?

תשובה

שתי ההגדרות שקולות לחלוטין. כלומר, סדרה מתכנסת תחת ההגדרה הראשונה אם"ם היא מתכנסת תחת ההגדרה השנייה. תוכיח את זה. --ארז שיינר 12:18, 6 בנובמבר 2010 (IST)

אגב, התנאי [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math] לא נהוג להופיע בצורה [math]\displaystyle{ |a_n-L|\leq\epsilon }[/math] אבל גם אם היו מחליפים בתנאי השני, ההגדרות היו שקולות. --ארז שיינר 12:20, 6 בנובמבר 2010 (IST)

המשך השאלה

אני יודעת שהן שקולות, אבל מהי ההגדרה? זו שבה אשתמש בתשובות שלי? יש הבדל, ההגדרה עם ה"גדול" (ללא שווה) מעט פשוטה יותר לשימוש כי לא צריך לעגל ולוודא ש-n טבעי.

תבחרי אחת וזו ההגדרה, זה לא משנה. אם את ממש מתעקשת - עדיף ללכת לפי ההגדרה של המרצה שלך. --ארז שיינר 13:35, 6 בנובמבר 2010 (IST)

טוב, תודה. אם זה לא משנה אז אבחר בהגדרה הפשוטה, עם ה"גדול", למרות שזו ההגדרה של המתרגל ולא המרצה.

צריך להוכיח?

צריך להוכיח שאם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לאינסוף אז הסדרה [math]\displaystyle{ ka_n }[/math] כאשר k חיובי קבוע, גם היא שואפת לאינסוף?

לא, זה ברור. --ארז שיינר 13:36, 6 בנובמבר 2010 (IST)

דחיית הגשת ש"ב בתרגול של ד"ר אפי כהן

נאמר לי שהגשת ש"ב בתרגול של אפי נדחתה לשבוע הבא (כדי לחזור לקצב של הקבוצה השנייה). מישהו יכול לאשר זאת? זה לא מצויין בשום מקום באתר. תודה, אור שחף^שיחה 17:25, 6 בנובמבר 2010 (IST)

מישהו? אור שחף^שיחה 21:54, 6 בנובמבר 2010 (IST)

אני לא חושב שאפי מסתכל באתר, אתה יכול לפנות אליו אישית אם אתה רוצה תגובה ממנו --ארז שיינר 22:24, 6 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 3 שאלה 5 סעיף ב

מצאתי סדרה כזו: [math]\displaystyle{ |a_n| }[/math] שואפת ל-m כלשהו, אבל [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתבדרת. כלומר בעצם, a לא קיים, אז לא יכול להיות ש-[math]\displaystyle{ m=|a| }[/math]. אז זה לא בסדר כהפרכה?

זה בסדר. --ארז שיינר 21:15, 6 בנובמבר 2010 (IST)

התשובות של תרגיל 3

נראה לי שיש שם טעות קטנה, בשאלה 5 סעיף ד, סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אמורה להיות [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ולהפך.

ולא הבנתי את התשובה של שאלה 2 עבור [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math], מאיפה הגיע החזקה [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ל-e?

בעצם למה מתקיים השיוויון הראשון, [math]\displaystyle{ (1+a/n)^n=((1-1/n/a)^{-n/a})^{-a} }[/math]

תשובה

אתה צודק. לגבי הe חסר שם מינוס, זה אמור להיות [math]\displaystyle{ (1+a/n)^n=((1-1/(-n/a))^{-n/a})^{-a} }[/math] כאשר אנו יודעים ש [math]\displaystyle{ (1-\frac{1}{n})^n\rightarrow e^{-1} }[/math]. העלאתי פתרון חדש עם הסבר מפורט יותר. --ארז שיינר 13:21, 7 בנובמבר 2010 (IST)