שיחה:88-230 סמסטר א' תשעא/ארכיון 1

שאלה

איפה התרגיל?

תשובה

אין לתיכוניסטים תרגיל השבוע באינפי 3. (שימו לב, למעלה יש קישור המקל להוסיף שאלות חדשות).

שאלה בנוגע לשניוניות

בקורס שימושי מחשב, המרצה אמר שכל שניונית מהצורה:

[math]\displaystyle{ \vec{v}^t A \vec{v} + \phi (\vec{v}) + C = 0 }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ \phi }[/math] פונקציונל לינארי)

ניתן להמיר לצורה הקנונית שלה, ע"י הזזה באיזשהו וקטור: [math]\displaystyle{ \vec{v} \rightarrow \vec{v} + \vec{\alpha} }[/math]

כאשר הוקטור הזה תלוי איכשהו ב-[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]. לאחר ההזזה, מתבטל החלק הלינארי, [math]\displaystyle{ \phi(\vec(v)) }[/math], וניתן רק למצוא ערכים עצמיים, [math]\displaystyle{ \lambda_1 , ... , \lambda_n }[/math] ולקבל שהצורה הקנונית של השניונית היא משהו כמו:

[math]\displaystyle{ \lambda_1 v_1^2 + ... + \lambda_n v_n^2 + C' = 0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \vec{v} = (v_1 , v_2 , ... , v_n) }[/math]

והוא אמר (נראה לי) שאם המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]

לא הפיכה, אזי ניתן להראות שהשניונית אינה ריבועית (או משהו כזה).. השאלה שלי היא, האם באמת ניתן לפעול

בדרך כזו - היא הרבה יותר קצרה..?

תשובה

אני לא רואה איך הזזה בלבד תתקן את החלק הריבועי אם המטריצה A אינה אלכסונית. --ארז שיינר 11:12, 15 באוקטובר 2010 (IST)

המטרה של ההזזה אינה "לתקן" את החלק הריבועי, אלא את החלק הלינארי.

דהיינו, כל המטרה בהזזה [math]\displaystyle{ \vec{v} \rightarrow \vec{v} + \vec{\alpha} := \vec{v}' }[/math] הינה להיפתר

מהחלק הלינארי, לאמור [math]\displaystyle{ \phi(\vec{v}) }[/math].

לאחר שנפתרים מהחלק הלינארי, ונשארים עם דבר מהצורה:

[math]\displaystyle{ \vec{v}'^t A \vec{v}' + C' = 0 }[/math]

אז, ניתן די בקלות לומר שבמקום המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ניתן לשים (או, במילים אחרות, "חילוף קורדינאנטות")

את המטריצה האלכסונית עם הערכים העצמיים: (ב-[math]\displaystyle{ \R ^3 }[/math], למשל)

[math]\displaystyle{ A' = diag(\lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3) }[/math]

בדרך זו (אם באמת ניתן לבצע את "הזזת הקסם" הזו) ניתן להסיק את הצורה הקנונית של השניונית די מהר..

אז - האם זה באמת עובד...?

אז אתם עושים את ההזזה לפני לכסון המטריצה. בכל מקרה לא יודעים את צורת השניונית לפני שמחשבים ע"ע כך שאני לא רואה איך זה יותר פשוט או מהיר. אבל אם זה עובד, זה סבבה מבחינתנו. --ארז שיינר 00:04, 17 באוקטובר 2010 (IST)

כתוב לי במחברת שצריך לבצע הזזה לפי:

[math]\displaystyle{ \vec{\alpha} = -\frac{1}{2} A^{-1} b }[/math]

כאשר, [math]\displaystyle{ \phi(v) = b^t v }[/math].

אם מציבים את זה באמת נפטרים מהחלק הלינארי, ומקבלים צורה כמו:

[math]\displaystyle{ v^t A v + C' = 0 }[/math]

כאשר, [math]\displaystyle{ C' = \alpha^t A \alpha + b^t \alpha + C }[/math].

עכשיו באמת ניתן למצוא ערכים עצמיים, ולהחליף את A במטריצה האלכסונים עם הע"ע שלה.

השאלה - מה קורה כאשר המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לא הפיכה?

במקרה זה אי אפשר להפטר מהחלק הלינארי, כמו למשל בפרבולה. --ארז שיינר 23:36, 17 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה בנוגע לתרגילי הבית

האם לקבוצת תרגול של ארז ושל איראנה יהיו תרגילי בית שונים?

לא, אותו תרגיל. --ארז שיינר 23:34, 17 באוקטובר 2010 (IST)

והאם זה משנה לאיזה קבוצה מגישים?

תרגיל

למתי התרגיל שיש באתר? ("תרגיל 2")

תשובה

יום ראשון כמובן. --ארז שיינר 02:24, 22 באוקטובר 2010 (IST)

אבל, ארז, בהרצאה בכלל לא הגענו לדיבור על פונקציות, גבולות או רציפות - את שום קשר בין התרגיל להרצאה..

אין הכרח כזה גם, הידע שרכשתם בתרגיל מספיק בשביל לפתור את התרגיל. --ארז שיינר 13:41, 22 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה כללית בקשר לגבולות

האם יש הבדל בין גבול לפי נקודה ששואפת ((x,y)->(0,0)) לבין כל משתנה בנפרד (x->0, y->0)?

תשובה

מה הכוונה כל משתנה בנפרד? הרי למדו שאם קובעים למשל x=0 וy שואף לאפס הגבול יכול להיות שונה מאשר אם נקבע y=0 וניקח את x לשאוף לאפס (קראנו לזה מסלולים, וראינו דוגמאות). --ארז שיינר 18:41, 22 באוקטובר 2010 (IST)

הכוונה כל משתנה בנפרד היא כמו בשאלה 2 ב' של התרגיל. הכוונה בנקודה ששואפת היא כמו בשאלה 2 סעיף א' של התרגיל. --זיתוני 11:46, 23 באוקטובר 2010 (IST)

אה, לא. אלה סתם צורות סימון שונות. --ארז שיינר 13:57, 23 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה

בקשר להגדרת הגבול של פונקציות. בהרצאה הראינו באופן גיאומטרי עבור כדורים, וכדי להמחיש, נאמר לנו שF של התחום חיתוך הכדור המתאים (ללא המרכז) מוכל ממש בכדור(L,epsilon). רציתי לדעת למה זה מוכל ממש?.. לא יכול להיות מצב בו הם שווים ממש?

רשמת בעצמך "עבור הכדור המתאים", כלומר יש כדור עבורו זה מוכל ממש. יכול להיות שיש כדור עבורו הם שווים, אז לוקחים כדור קטן יתר והוא המתאים. זה בדיוק כמו ההבדל בגבול סדרות בין [math]\displaystyle{ |a_n-L|\leq \epsilon }[/math] לבין [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]. הגדרת הגבול נשארת זהה אם מחליפים את הקטן ממש בקטן שווה, וכך גם פה. (אם הבנתי נכון את השאלה). --ארז שיינר 16:37, 23 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה

בכיתה הוכחנו שהגדרות הגבול לפי היינה וקושי שקולות. בכיוון היינה==>קושי, אני לא בטוח שהבנתי לגמרי מה הרעיון של ההוכחה.. הרעיון הוא להניח בשלילה, לקחת דלתות מהצורה אחד חלקי K (כאשר K רץ על 1,2,...) כך שקיימת סדרה Xk שמתאימה להן שכל רכיב שלה לא מקיים את הגדרת הגבול לפי קושי (זו ההנחה בשלילה), ואז בעצם לקחת את כל הסדרה {Xk} - ומכיוון ששיש לה גבול והוא P (למה זה נכון בכלל?), אבל מצד שני הראינו שאין גבול לפונק', זו סתירה?.. זה קצת מסורבל אצלי, אני ממש לא בטוח שהבנתי נכון.

תשובה

זה דומה לאינפי 1. אם אין התכנסות לפי קושי, זה אומר שיש אפסילון, עבורו בכל כדור קטן כפי שנרצה סביב נקודת הגבול, יש נקודה בה הפונקציה רחוקה מרחק אפסילון ומעלה מהגבול הרצוי. אם נבחר את הנקודה הזו מתוך כל כדור (בסדרת כדורים עם רדיוסים קטנים - אלה הדלתות) נקבל סדרה מתכנסת, אבל הפונקציה על הסדרה לא יכולה להתכנס לגבול הרצוי, בסתירה. --ארז שיינר 01:34, 24 באוקטובר 2010 (IST)

תודה!

עמוד לקורס מבוא לחישוב

ארז, אתה יכול בבקשה לפתוח עמוד לקורס מבוא לחישוב?

נפתח.

תודה.

שאלה

איך מוכיחים בצורה פורמלית שA קבוצה סגורה בR^n אם ורק אם R^n/A קבוצה פתוחה? :-)

תשובה

אני לא בטוח מה ההגדרות שניתנו בשיעור (בד"כ כך מגדירים קבוצה סגורה, אם המשלימה שלה פתוחה), אבל אפשר להוכיח את זה גם מתוך ההגדרות בעזרת כדורים.

קבוצה סגורה אם היא מכילה את כל נקודות השפה שלה, כלומר נקודות שכל כדור סביבן יש לו חיתוך גם עם הקבוצה וגם עם המשלים של הקבוצה. נניח בשלילה שהמשלימה אינה פתוחה, לכן יש לה נקודה כך שאף כדור מסביבה אינו מוכל כולו במשלים, כלומר יש לו חיתוך עם הקבוצה. הנקודה הזו, לפי הגדרה, הינה נקודת שפה של הקבוצה, ולכן מוכלת גם בקבוצה (וגם במשלים) וזו סתירה. הכיוון ההפוך דומה. --ארז שיינר 22:23, 26 באוקטובר 2010 (IST)

קודם כל תודה (: אבל איך אתה מגדיר קבוצה סגורה? אנחנו הגדרנו בכיתה קבוצה שכל נק' ההצטברות שלה שייכות אליה. אני לא רואה למה לכל נק' הצטברות - עבור כל כדור יהיה חיתוך גם עם הקבוצה וגם עם המשלים.. (למשל אפילו במישור, אם ניקח את [0,1] אז 0.5 היא נקודת הצטברות.)

כן, אבל רק נקודות השפה שתארתי למעלה רלוונטיות להוכחה. ברור שגם נקודות פנימיות (שיש כדור סביבן שמוכל בקבוצה) שייכות לקבוצה. המיוחד בנקודות השפה היא שהן קרובות למשלים, הן החשודות להיות השפה של המשלים. --ארז שיינר 01:00, 27 באוקטובר 2010 (IST)

דיפרנציאביליות

ארז.. בכיתה אמרת שהגדרת הנגזרת החלקית היא f(x1,..xk+h,..xn)-f(x1,..,xn) qq חלקי h (הגבול, כאשר h שואף ל0) ובאתר הוספת הערה שלפי הגדרה, למשל עבור n=2 מקבלים fx(0,0)=limf(h,0) qq כאשר h שואף ל0 (ציינת שזה לפי הגדרה..). אני לא ממש מבין איפה האנלוגיה פה ואיך הגעת לזה..

תשובה

סתם התבלבלתי שם... בכל מקרה זה היה עבור הדוגמא שנתתי בכיתה שם f(0,0)=0, תקנתי בכל מקרה את ההערה בעמוד הראשי. סבבה? --ארז שיינר 22:17, 26 באוקטובר 2010 (IST)

דיפרנציאביליות בn מימדים

בתרגיל אנחנו צריכים לבדוק דיפרנציאביליות של פונקציות עם שני משתנים, דבר אשר לא הגענו אליו לא בהרצאה (עם ד"ר אגרנבוסקי) ולא בתרגול (עם אירנה). בהרצאה ד"ר אגרנובסקי נתן הגדרה של דיפרנציאביליות רק עבור מימד 1. מה ההגדרה עבור n מימדים?

תשובה

תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m }[/math]. אומרים שf דיפרנציאבילית בנקודה a אם קיימת העתקה לינארית [math]\displaystyle{ df_a:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)- df_a(h)}{||h||}=0 }[/math].

ראינו בכיתה, שבמקרה של [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ df_a(h)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot h_i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h=(h_1,h_2,...,h_n) }[/math].

לכן על מנת לבדוק דיפרנצאביליות אפשר לחשב את הנגזרות החלקיות בנקודה, כך לדעת מהו הדיפרנציאל, ואז לבדוק את הגבול המוגדר מעלה.

--ארז שיינר 22:08, 27 באוקטובר 2010 (IST)

שאלות

• קודם כל, לגבי נגזרות חלקיות.. מתי לחשב לפי הגדרה ומתי לפי הדרך הרגילה (כמו שאנחנו יודעים)? בכיתה היו כמה תרגילים שחישבת לפי הגדרה וכמה לפי גזירה לפי משתנה אחד.. למשל בשאלה 2 או 3 בש.ב, אפשר בשתי הדרכים? (למרות שברור באיזו דרך עדיף ב2 לפחות..)
• האם זה טריוויאלי ששורש חמישי של (h1^2*h2^3) שואף ל0 כאשר h1,h2 שואפים ל0?
• אם הגעתי לכבול של (נורמה3 של H פחות נורמה1 של H) חלקי (נורמה2 של H). קצת נתקעתי בלהוכיח לאן זה מתכנס? (כאשר h1,h2->0)

לשאלתך האחרונה, קח איזהשהי תת סדרה עבור h1,h2 ותבדוק מה יוצא הגבול. (לדוגמא, [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]) --Eliavlevy 20:35, 28 באוקטובר 2010 (IST)

אבל אמור להיות גבול בסופו של דבר, לא? פשוט למצוא את הגבול לפי הת"ס ולהוכיח לפי הגדרה שזהו הגבול.?

לא בהכרח קיים גבול. לפי הגדרה הפונקציה דיפרנציאבילית אם הגבול הוא 0, אז אם הגבול לא 0 אז היא לא דפרנציאבילית. גבול שונה מ0 לא בהכרח גורר שהגבול שווה מספר ממשי אחר, אלא גם יכול להיות שהגבול לא קיים. כלומר, מספיק להראות שהגבול לא 0 בשביל שהפונקציה לא תהיה דיפרנציאבילית לפי הגדרה. --Eliavlevy 00:19, 29 באוקטובר 2010 (IST)

תשובה

• כמו באינפי עד עכשיו - אם זה עובד סימן שהצלחת.
• כן, קל להראות את זה, ואני לא חושב שחייבים בתרגיל אלא אם מבקשים מפורשות
• אני לא בטוח לגמרי למה אתה מתכוון, זו שאלה כללית או על התרגיל?

על התרגיל. שאלה אחרונה סעיף אחרון.

גזירה חלקית

בתרגיל 4 סעיף א', אני רוצה לחשב את הנגזרת החלקית לפי y בנקודה (0,0). כשמחשבים לפי הגדרת הנגזרת החלקית מקבלים 0, אבל אם אני פשוט גוזר לפי y ואז מציב x=y=0 מקבלים שהנגזרת שם לא מוגדרת.. למה זה קורה?

תשובה

גזירה לפי y היא ההנחה שx הינו קבוע כלשהו, ואז גוזרים לפי y. העניין הוא שעבור [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] הנגזרת הינה [math]\displaystyle{ \sqrt[5]{x^7}\frac{3}{5}y^{-\frac{2}{5}} }[/math] ואינה מוגדרת עבור y=0. אבל, כאשר x=0 הנגזרת הינה אפס. לכן התשובה היא שכאשר גזרת לפי y לא קיבלת את הפונקציה הנכונה, קיבלת פונקציה שלא מוגדרת באפס, במקום פונקציה ששוה ממש לאפס באפס. בפרט, הנגזרת בכיוון y בכל נקודה (a,0) עבור [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] אינה מוגדרת. --ארז שיינר 16:38, 30 באוקטובר 2010 (IST)

..

יש מצב לפתוח עמוד גם לתורת הקבוצות?

אפשר לפתוח דף לכל קורס.. רק שאם זה דף לא של מרצי/מתרגלי הקורס זה אתם עונים לעצמכם (כמו מבוא לחישוב). לפתוח? --ארז שיינר 16:52, 30 באוקטובר 2010 (IST)

כן. תודה :-)

שאלה

אם מראים שפונקציה לא רציפה (לפי 2 משתנים) בנקודה, היא גם לא דיפרנציאבילית בנקודה?

כן, כי לפי משפט דיפרנציאביליות של פונקציה בנקודה גוררת רציפות הפונקציה בנקודה. --Eliavlevy 20:16, 30 באוקטובר 2010 (IST)

שאלות בקשר לתרגול האחרון

בכיתה פתרנו תרגיל שדומה להוכחת משפט פרמה. הגענו לכך ש0=גראדינט כפול h. אבל למה h (אחד מרכיביו) לא יכול להיות 0?.. למה זה אומר שהגרדיאנט שווה בטוח ל0?

ושאלה בקשר לסימונים.... daf(h) זה החלק הליניארי לפי מה שלמדנו בתרגול הקודם, וdhf(a) זה כאשר רוצים נגזרת בכיוון h? קצת לא ברור..

תשובה

הוכחנו שהנגזרת הכיוונית שווה לאפס בכל כיוון. אז בפרט היא שווה לאפס בכיווני הצירים. רכיבי הגרדיאנט הם הנגזרות החלקיות = הנגזרות המכוונות בכיווני הצירים.

[math]\displaystyle{ D_af }[/math] זה הדיפרנציאל שהוא העתקה לינארית, ואנחנו מציבים בו וקטור h ששואף לאפס. [math]\displaystyle{ \partial_hf }[/math] הוא הנגזרת המכוונות בכיוון h, כאשר h הינו וקטור יחידה. --ארז שיינר 21:57, 31 באוקטובר 2010 (IST)

שניה.. הוכחנו שהמכפלה הסלקרית של הגרדיאנט בh שווה ל0 בכל כיוון. השאלה שלי מה קורה כשאחד הרכיבים של h=0. זה לא מבטיח לנו כלום לגבי הגראדינט.

לא. הוכחנו שהנגזרת הכיוונית שווה לאפס בכל כיוון. --ארז שיינר 23:45, 31 באוקטובר 2010 (IST)