שיחה:88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

תרגיל 1 שאלה 1 סעיף ב

האם a הוא מספר ממשי או מרוכב?

ממשי. --Grisha 22:13, 20 במרץ 2012 (IST)

שאלה 2, תרגיל 1

נראה לי שהזהות שצ"ל שם אינה נכונה.

אם נציב טטא=פאי/2, n=1, הזהות לא מתקיימת, כאשר טטא הוא מחוץ לסינוס באגף ימין. לדעתי הוא אמור להיות בתוכו...

אשמח באם תוכלו לומר לי האם אני טועה, או שיש טעות בתרגיל. תודה רבה מראש, גל.

אז איזו זהות עלינו להוכיח לבסוף? או לחלופין להפריך בדף התשובות?

[math]\displaystyle{ \theta }[/math] שייך ל- [math]\displaystyle{ sin }[/math]. אתה יכול (אך לא חייב) להוסיף את הסוגריים: [math]\displaystyle{ sin((n+1/2)\theta) }[/math]. --Grisha 22:26, 20 במרץ 2012 (IST)

תודה.

שאלה 1 סעיפים ב' ו-ג'

אלה לא קבוצות נקודות, אלא מספר ממשי כלשהו...

תודה. הועלה קובץ מתוקן. --Grisha 22:10, 22 במרץ 2012 (IST)

תרגיל 2

שאלה 2

באילו מהפונקציות הבאות מותר להשתמש בשאלה: Re(z), Im(z), |z|, z conjugate?

[math]\displaystyle{ z, \bar z }[/math]. --Grisha 22:35, 4 באפריל 2012 (IDT)

שאלה 3

מה בדיוק הקשר של השאלה לפונקציות מרוכבות הרי כאשר z->2 במסלול הממשי הגבול קיים וידוע?

לא אמרנו שזה מסובך. --Grisha 22:35, 4 באפריל 2012 (IDT)

תודה רבה.

תרגיל 4 שאלה 4

מוגדר שם שורש. על איזה ענף של השורש מוגדרת הפונקצייה: בין פאי למינוס פאי, או בין 0 לשני פאי?

יש תנאי שלפיו צריך לבדוק באיזה ענף מדובר. --Grisha 20:25, 16 באפריל 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 7

מה זאת אומרת למצוא תבנית לפונקציה בשאלה 7?

כל הפונקציות האפשריות מהצורה [math]\displaystyle{ \Phi(x^2-y^2) }[/math], כלומר, בכל מקום שפוגשים משתנים הם באים בצורה [math]\displaystyle{ x^2-y^2 }[/math]. --Grisha 22:03, 23 באפריל 2012 (IDT)

תרגיל 5- שאלה 5

מופיעה באינטגרל פעמיים dz. האם אמור להופיע משהו אחר במונה של השבר?

לא, לא אמור להופיע שום דבר חוץ מ- dz. עדכנתי את הקובץ. --Grisha 20:51, 25 באפריל 2012 (IDT)

3 שאלות על תרגיל 3

1. מהו התחום בו פונקציית השורש אנליטית?

יש מספר תחומים כאלה. --Grisha 22:58, 25 באפריל 2012 (IDT)

2. האם הכוונה בשאלה 1 לתחום אנליטיות?

לא, הכוונה לתחום ההגדרה כפי שכתוב. הענף העיקרי הוא בפרט ענף אנליטי. --Grisha 22:58, 25 באפריל 2012 (IDT)

3. בשאלה 5, מדוע העובדה ש 2pi>Arg(z)>0 אומרת ש: 2pi>Im(z)>0 ?

לפי הגדרה [math]\displaystyle{ log(z)=ln(|z|)+i\cdot arg(z) }[/math]. --Grisha 22:58, 25 באפריל 2012 (IDT)

תודה רבה.

לא הבנתי את תשובתך לשאלה הראשונה שלי, האם תוכל להרחיב? בנוסף, האם תוכל בבקשה להסביר את הקשר בין בחירת ענף לבין אנליטיות? תודה רבה.

הענפים שמעניינים אותנו הם אנליטיים. אבל אני יכול לבחור איך ייראה הענף. לדוגמא, ענף עיקרי הוא הענף ש- [math]\displaystyle{ -\pi \lt \arg (z) \lt \pi }[/math]. אבל אני גם יכול לקחת ענף אחר שעבורו [math]\displaystyle{ 0 \lt \arg (z) \lt 2\pi }[/math]. זהו גם ענף אנליטי, אך לא הענף העיקרי. --Grisha 17:35, 26 באפריל 2012 (IDT)

תרגיל 6 שאלה 3

אם למשל נתונה לי פונקציה מרוכבת [math]\displaystyle{ |f(x)|\lt k }[/math] שהיא חסומה, האם נכון לכתוב [math]\displaystyle{ -k\lt f(x)\lt k }[/math]?

אם f(x) היא פונקציה ממשית, אז נכון. אם היא פונקציה מרוכבת, אז ממש לא. --Grisha 20:49, 7 במאי 2012 (IDT)

תרגיל 6 שאלה 1

גרישה, אתה יכול לתת רמז איך פותרים את השאלה 1 בתרגיל 6

צריך לעשות "פרמטריזציה חפוכה" כדי לחזור לאינטגרל לפי dz שאותו אפשר לחשב בעזרת נוסחת קושי. --Grisha 20:56, 7 במאי 2012 (IDT)

תרגיל 6 שאלה 1

אפשר להשתמש בו במשפט הערך הממוצע?

אמנם נכתב "השתמשו בנוסחת קושי" אבל בכיתה השתמשנו בנוסחת קושי כדי להוכיח את משפט הערך הממוצע... תודה מראש.

כתוב במפורש להשתמש בנוסחא קושי וזה מה שאנחנו רוצים לראות. אפשר להשתמש במשפט הערך הממוצע כחישוב צד כדי לבדוק האם הפתרון בעזרת נוסחת קושי היה נכון. --Grisha 23:52, 11 במאי 2012 (IDT)

מתי מתחילה החופשה?

אמורה להיות לנו חופשה של שבועיים. מתי היא מתחילה? והיא רלוונטית לגבי קורסים אחרים? תודה רבה!

אני לא מכיר חופשה של שבועיים. יש חופשה ביום ראשון הקרוב (20.05) - יום ירושלים וימים ראשון ושני בעוד שבועיים (27-28.05) - שבועות. --Grisha 17:12, 17 במאי 2012 (IDT)

שאלה על משפט היחידות

משפט היחידות אומר שאם f(zn)=g(zn) כאשר zn סדרה לא מנוונת שגבולה בתחום האנליטיות של f אז בתחום זה f=g. אם f שלמה, האם סדרה ששואפת לאינסוף נחשבת כסדרה שגבולה בתוך תחום האנליטיות של f ויכולה לקיים את תנאי המשפט? וגם, אם ל zn אין גבול אבל היא נשארת תמיד בתוך סביבה שמוכלת ממש בתחום האנליטיות (למשל - רצה על מעגל היחידה), האם אפשר להפעיל את המשפט על zn או שהמשפט לא מתקיים עבור zn כזאת? תודה!

אנסה לתת ניסוח קצת שונה של המפשט - נניח שהפונקציות (g(z),f(z אנליטיות בתחום D שכולל קבוצה E שנקודת ההצטברות שלה, a, שייכת ל-D. נניח גם ש- (f(z)=g(z לכל [math]\displaystyle{ z\in E }[/math]. אזי (f(z)=g(z לכל [math]\displaystyle{ z\in D }[/math]. מכאן נקודת אינסוף לא מתאימה. חוץ מזה, אם תיזכר בהוכחת המשפט, אז הוכחתם ע"י פיתוח לטור טיילור סביב נק' a (תקן אם אני טועה והוכחתם אחרת). --Grisha 20:36, 19 במאי 2012 (IDT)

"קבוצה E שנקודת ההצטברות שלה" - מה אם לE יש יותר מנקודת הצטברות אחת, האם הכוונה היא שאם לכל נקודת הצטברות בE, הנק' שייכת לD, אז המשפט מתקיים?

עריכה: הצלחתי להוכיח את הדרוש עם לקיחת תת סדרה מתאימה. תודה!

תרגיל 8 שאלה 7 ב'

בשאלה 7 סעיף ב' לא ברור מה צריך לעשות בשאלה

תודה. הועלה קובץ מתוקן. --Grisha 23:21, 21 במאי 2012 (IDT)

מבחנים

אם תוסיפו מבחנים נוספים של המרצה לתרגול זה יהיה מאוד מועיל. תודה מראש וחג שמח.

זה כל מה שיש אצלי. תבדקו בספריה, לאחרונה נבנה בנק בחינות. גם תסתכלו על המבחנים של מרצים אחרים, החומר לא משתנה יותר מדי. גם באוניברסיטאות אחרות אפשר למצוא הרבה מבחנים (לפעמים אפילו פתורים). --Grisha 17:33, 24 במאי 2012 (IDT)

יש בידי עוד כמה מבחנים של ד"ר הורוביץ. אוכל להוסיף אותם לאתר (אוכל לפתוח עמוד של בחינות תחת הדף הראשי של הקורס, ולהכניס לתוכו גם את הבחינות שגרישה העלה) אם זה בסדר עם המתרגלים.

תבדוק מה כבר העליתי. אם זה משהו חדש, אז תוסיף עוד קישור. --Grisha 23:24, 8 ביוני 2012 (IDT)

הוספת מבחנים נוספים

האם ניתן להוסיף מבחנים משנים קודמות יותר ? תודה מראש.

זה כל מה שיש אצלי. תבדקו בספריה, לאחרונה נבנה בנק בחינות. --Grisha 17:31, 24 במאי 2012 (IDT)

תרגיל 8 שאלה 3

האם ניתן להניח כי R תחום קשיר? אחרת לא ניתן להוכיח כי f היא 0 זהותית ב-R. ובנוסף אם f(1/n) גדול ממש מ-0 אז f אינה רציפה, ולכ גם אינה אנליטית ב-R, לכן אי השיוויון המתאים הוא גדול או שווה.

כן. כן. --Grisha 07:16, 1 ביוני 2012 (IDT)

שארית באינסוף

שלום, האם תוכלו להזכיר את הגדרת השארית באינסוף?

נוסף על כך, וללא קשר, האם אחד מהמתרגלים מתכנן לעשות שיעור חזרה (בבקשה?)?

תודה מראש.

בעוד כשבוע אעלה את הפתרונות של תרגיל בית 10 ותראו את הדוגמאות. את ההגדרה המפורשת וגם דוגמאות אפשר למצוא בספר הקורס.

בקצרה, כדי לחקור את התנהגות הפונקציה f(z) באינסוף אנו מחליפים משתנים: [math]\displaystyle{ z'=\frac{1}{z}\to \phi (z')=f(\frac{1}{z}) }[/math] ובוחנים את התנהגות של [math]\displaystyle{ \phi(z') }[/math] בנקודה z=0.

לגבי תרגול חזרה אני עוד לא בטוח שיש צורך בכך, תלוי בשאלות שאקבל לפני המבחן. --Grisha 22:22, 17 ביוני 2012 (IDT)

תודה רבה. על איזה ספר מדובר?

ואגב, תמיד יש צורך בתרגול חזרה :) שוב תודה.

פונקציות מרוכבות, בן ציון קון (זה מה שכתוב בסילאבוס). --Grisha 07:53, 18 ביוני 2012 (IDT)

תרגול חזרה

האם ניתן בבקשה להעלות פתרונות תרגילים ? ולעשות שיעור חזרה?

העליתי תרגילים 9 ו- 10. את תרגיל 11 אעלה שבוע לפני המבחן (כדי לתת להגיש לכל מי שרוצה). --Grisha 18:12, 27 ביוני 2012 (IDT)

שאלה מבחינה

האם יש סיכוי לעזרה בשאלה 6 במבחן השלישי בקובץ שגרישה העלה? לא כל כך ברור לי איך לגשת אליה... תודה מראש.

לא בטוח שזה כיוון יחיד, אבל אפשר לנסות להגדיר [math]\displaystyle{ g(z)=f^2(z)=sin(z) }[/math] ולבדוק מהו סדר של אפס בנקודה [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]. --Grisha 22:09, 11 ביולי 2012 (IDT)

מועד א' - שאלה 5. סקיצה של פתרון

[math]\displaystyle{ g(w)={1\over{2\pi\cdot i}}\oint\limits_\gamma {{{z\cdot f'(z)}\over{f(z)-w}}dz} ,\ \ \ \ \ \forall w \in D' }[/math]

נעשה החלפת משתנים: [math]\displaystyle{ t=f(z),\ \ z=f^{-1}(t) }[/math], לכן [math]\displaystyle{ dt=f'(z)dz }[/math]. מותר לעשות את זה כי f חח"ע ועל ולכן הפיכה.

נקבל:

[math]\displaystyle{ g(w)={1\over{2\pi\cdot i}}\oint\limits_{\gamma'} {{{f^{-1}(t)}\over{t-w}}dt} ,\ \ \ \ \ \forall w \in D' }[/math]

פונקציה f הפיכה ואנליטית ולכן גם [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]. לכן מותר להשתמש בנוסחת קושי ונקבל:

[math]\displaystyle{ g(w)= {1\over{2\pi\cdot i}} \cdot 2\pi i\cdot f^{-1}(w)=f^{-1}(w) ,\ \ \ \ \ \forall w \in D' }[/math].

מכאן g היא פונקציה הופכית של f.

אני מזכיר שזאת רק סקיצה של הפתרון, יש עוד להסביר מהו [math]\displaystyle{ '\gamma }[/math] ובאופן כללי להסביר את החוקיות של המעברים.

(פתרון באדיבות דנה ואקנין) --Grisha 22:51, 15 ביולי 2012 (IDT)