שילוש מטריצה

הגדרה

מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה

משפט

מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים

אלגוריתם לשילוש מטריצה

• ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B

• נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה [math]\displaystyle{ Q = P^{-1}AP }[/math]

• נסמן [math]\displaystyle{ k=|E| }[/math]. נסמן ב[math]\displaystyle{ Q_k }[/math] את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.

• ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ P_1 }[/math]. כיוון שהמטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית).

• נסמן [math]\displaystyle{ P_1'=I_k\oplus P_1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ I_k }[/math] הינה מטריצה היחידה מגודל k.

• סה"כ [math]\displaystyle{ P_1'^{-1}P^{-1}APP_1' }[/math] הינה מטריצה משולשית

דוגמאות

נשלש את המטריצה

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}-1 & -3 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 9 & 12 \\ -1 & -2 & -3 & -3 \end{pmatrix} }[/math]

ראשית נמצא את הפולינום האופייני:

[math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2 }[/math]

הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.

לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ V_1=span\{(1,-2,1,0)\} }[/math]

[math]\displaystyle{ V_2=span\{(1,0,-2,1)\} }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ E = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1)\} }[/math]

ונשלים אותו לבסיס

[math]\displaystyle{ B = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} }[/math]

נסמן

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]

וכעת נקבל

[math]\displaystyle{ Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix} }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ Q_2=\begin{pmatrix} -0.5 & -2.5 \\ 1.5 & 3.5 \end{pmatrix} }[/math]

במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור

[math]\displaystyle{ P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix} }[/math]

נקבל

[math]\displaystyle{ P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

לבסוף נסמן

[math]\displaystyle{ P_1'=I_2\oplus P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -0.6\end{pmatrix} }[/math]

ונקבל כפי שרצינו:

[math]\displaystyle{ P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -0.4 \\ 0 & 2 & 2 & -0.6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]