תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג

מידת לבג

מידה חיצונית

בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, [math]\displaystyle{ \{I_n\}_{n=1}^\infty }[/math] היא סדרת קטעים פתוחים. כמו כן, בהנתן קטע [math]\displaystyle{ I }[/math] נסמן כ־[math]\displaystyle{ |I| }[/math] את אורכו (השווה ל־[math]\displaystyle{ \sup(I)-\inf(I) }[/math]) במקום את עוצמתו.

• מידה חיצונית: תהי [math]\displaystyle{ E\subseteq\mathbb R }[/math]. המידה החיצונית של [math]\displaystyle{ E }[/math] היא [math]\displaystyle{ m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\} }[/math].
• [math]\displaystyle{ \forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0 }[/math]
• מונוטוניות עולה חלשה: [math]\displaystyle{ \forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B) }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ E }[/math] קטע אזי [math]\displaystyle{ m^*(E)=|E| }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ \{E_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרת קבוצות ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n) }[/math].
• הזזה: בהנתן קבוצה [math]\displaystyle{ E }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] הקבוצה [math]\displaystyle{ x_0+E=E+x_0 }[/math] היא הזזה שלה ומוגדרת כ־[math]\displaystyle{ \{x_0+x:\ x\in E\} }[/math].
• שמירות תחת הזזה: [math]\displaystyle{ \forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E) }[/math].
• לא קיימת מידה [math]\displaystyle{ m }[/math] על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] המקיימת את כל התכונות הבאות:
  1. [math]\displaystyle{ m(E) }[/math] קיימת לכל [math]\displaystyle{ E\subseteq\mathbb R }[/math] ומקיימת [math]\displaystyle{ 0\le m(E)\le\infty }[/math].
  2. לכל קטע [math]\displaystyle{ E\subseteq\mathbb R }[/math], [math]\displaystyle{ m(E)=|E| }[/math].
  3. [math]\displaystyle{ m }[/math] שמורה תחת הזזה.
  4. אם [math]\displaystyle{ E=\biguplus_{n=1}^\infty E_n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m(E)=\sum_{n=1}^\infty m(E_n) }[/math].
• קבוצה מדידה: תהי [math]\displaystyle{ E\subseteq\mathbb R }[/math]. היא תקרא "מדידה" או "מדידה לבג" אם [math]\displaystyle{ \forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E) }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ E,F }[/math] מדידות וזרות אזי [math]\displaystyle{ m^*(E\uplus F)=m^*(E)+m^*(F) }[/math].
• [math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה אם״ם [math]\displaystyle{ E^\complement }[/math] מדידה.
• [math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה אם״ם [math]\displaystyle{ \forall A\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\ge m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E) }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ m^*(E)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה.
• אם [math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה אזי לכל [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], גם [math]\displaystyle{ x_0+E }[/math] מדידה.
• כל קטע מהצורה [math]\displaystyle{ (a,\infty) }[/math] ([math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]) מדיד.