תרגול 5 תשעז

חזרה לדף מערכי התרגול.

קבוצות

הגדרה (לא מדוייקת, אך מספיקה לצרכינו):

קבוצה הינה אוסף של איברים שונים. בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות:

[math]\displaystyle{ \{1,\text{horse},3\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{1,2,3\} }[/math] ו[math]\displaystyle{ \{1,\{2,3\},\{\}\} }[/math]

שייכות והכלה

איבר השייך לקבוצה אנו מסמנים בסימן [math]\displaystyle{ \in }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ 1\in\{1,2,3\} }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ 4\notin\{1,2,3\} }[/math]. שימו לב שגם [math]\displaystyle{ 1\notin\{\{1,2,3\}\} }[/math] שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,2,3\} }[/math].

• אומרים שקבוצה A מוכלת בקבוצה B (מסומן [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB. בשפה מדויקת, A מוכלת בB אם מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a\in A: a\in B }[/math].

דוגמא:

[math]\displaystyle{ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} }[/math] כאשר

[math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} }[/math] המספרים הטבעיים

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} }[/math] המספרים השלמים

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} : m,n\in \mathbb{Z},n\neq 0\} }[/math] המספרים הרציונאלים (שברים)

[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] המספרים הממשיים ("כל המספרים" על הישר)

[math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\} }[/math] המספרים המרוכבים

תרגיל

נסמן [math]\displaystyle{ A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} ,C=\{1 \} ,D=\{ \{1\} \} }[/math]. השלימו ע"י הכלה או שייכות:

א. [math]\displaystyle{ B }[/math]__[math]\displaystyle{ A }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ C }[/math]__[math]\displaystyle{ A }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ B }[/math]__[math]\displaystyle{ C }[/math]

ד. [math]\displaystyle{ A }[/math]__[math]\displaystyle{ D }[/math]

ה. [math]\displaystyle{ B }[/math]__[math]\displaystyle{ D }[/math]

ו. [math]\displaystyle{ D }[/math]__[math]\displaystyle{ C }[/math]

איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי

• חיתוך של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים גם לA וגם לB (מסומן [math]\displaystyle{ A\cap B }[/math]). מתקיים ש[math]\displaystyle{ a \in A\cap B \iff (a\in A \and a\in B) }[/math].

• איחוד של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים לA או לB (מסומן [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math]). מתקיים ש[math]\displaystyle{ a \in A\cup B \iff (a\in A \or a\in B) }[/math].

• קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה הכלה דו כיוונית: A=B אם ורק אם [math]\displaystyle{ (A\subseteq B) \and (B \subseteq A) }[/math].

• A הפרש B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש [math]\displaystyle{ x\in A\setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B) }[/math].

• ההפרש הסימטרי בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן [math]\displaystyle{ A\triangle B }[/math]). מתקיים כי

[math]\displaystyle{ x\in A\triangle B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) }[/math] [math]\displaystyle{ \iff x\in (A\cup B) / (A\cap B) }[/math]

דוגמא:

יהיו [math]\displaystyle{ A=\{1,2,\{1\}\},B=\{1,\{2\}\},C=\{2,\{1,2\}\} }[/math] קבוצות.

אזי:

[math]\displaystyle{ A\cup B =\{1,2 ,\{1\},\{2\}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ (A\cup B)\cap C =\{2\} }[/math]

[math]\displaystyle{ B \cap C = \varnothing }[/math]

[math]\displaystyle{ C \setminus A =\{\{1,2\}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ B \triangle C = B \cup C }[/math]

[math]\displaystyle{ A \triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\} }[/math]

תרגיל

הוכח כי: א. הקבוצה הריקה [math]\displaystyle{ \varnothing=\{\} }[/math] מוכלת בכל קבוצה A

ב. [math]\displaystyle{ \varnothing \cap A = \varnothing }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ \varnothing \cup A = A }[/math]

פתרון

א. יש להוכיח את הפסוק הבא: [math]\displaystyle{ \forall a\in\varnothing : a\in A }[/math]. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון באופן ריק. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר. הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי קיים איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

ב. נשים לב שמתקיים: [math]\displaystyle{ x\in \varnothing \cap A \iff x\in \varnothing \and x\in A \iff F \land x\in A \iff F }[/math] כלומר ההנחה שיש איברים בחיתוך שקולה לסתירה, ולכן אין שם איברים וזו הקבוצה הריקה.

ג. [math]\displaystyle{ x\in \varnothing \cup A \iff x\in \varnothing \or x\in A\ \iff F \lor x\in A \iff x\in A }[/math]

תרגיל

הוכיחו או הפריכו:

א. [math]\displaystyle{ A\cap (B\smallsetminus C)=(A\cap B) \smallsetminus (A\cap C) }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ A\triangle (B\cap C)=(A\triangle B) \cap (A\triangle C) }[/math]

פתרון

א. הוכחה אפשרית - טבלת שייכות (קצת תלוי מרצה)

פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:

[math]\displaystyle{ x\in A\cap (B\setminus C) \iff }[/math] [math]\displaystyle{ (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff }[/math] [math]\displaystyle{ [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] }[/math]

בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:

[math]\displaystyle{ \iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff }[/math] [math]\displaystyle{ [(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)] }[/math]

וזה בדיוק מה שרצינו.

הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:

בכיוון ([math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]) נניח [math]\displaystyle{ x\in A\cap(B\backslash C) }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C) }[/math]

בכיוון ([math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]) נניח [math]\displaystyle{ x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C) }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow }[/math]

(כי אם [math]\displaystyle{ x\in C }[/math] אז [math]\displaystyle{ x\in A\cap C }[/math] סתירה)

[math]\displaystyle{ x\in A\cap(B\backslash C) }[/math]

ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל: [math]\displaystyle{ A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\} }[/math].

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

מוטיבציה: הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\ldots,A_{17} }[/math]. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום [math]\displaystyle{ A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17} }[/math], וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: [math]\displaystyle{ \bigcap _{i=1} ^{17} A_i }[/math]. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] אוסף קבוצות כאשר [math]\displaystyle{ I }[/math] הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:

[math]\displaystyle{ \bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} }[/math]

[math]\displaystyle{ \bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} }[/math]. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים [math]\displaystyle{ I }[/math] לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר [math]\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n) }[/math] אזי

א. [math]\displaystyle{ \bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ \bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing }[/math]

ג. נגדיר [math]\displaystyle{ B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n }[/math]

הוכחה:

א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות [math]\displaystyle{ A_1\cap A_2=\phi }[/math].

ג. נתייחס ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:[math]\displaystyle{ \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z} }[/math].