תרגול 7 מדמח קיץ תשעז

חזרה למערכי התרגול

המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות

תמונות חלקיות

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] פונקציה, ויהיו תת קבוצות [math]\displaystyle{ A\subseteq X,B\subseteq Y }[/math]. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה [math]\displaystyle{ f[A]=\{f(a)|a\in A\}=\{ y\in Y|\exists a\in A: f(a)=y\} }[/math], והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה [math]\displaystyle{ f^{-1}[B]=\{x\in X|f(x)\in B\} }[/math].

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1}[B] }[/math] לבין הפונקציה ההופכית [math]\displaystyle{ f^{-1}(y) }[/math]. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math]) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו [math]\displaystyle{ B\subseteq Y }[/math]).

דוגמאות

תהא [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] פונקצית דריכלה. אזי [math]\displaystyle{ D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18)) }[/math]

תהא [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] פונקצית . אזי [math]\displaystyle{ f^{-1}(Y)=X }[/math]

תהא [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z} }[/math] פונקצית הערך השלם התחתון. אזי [math]\displaystyle{ f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2) }[/math]

תכונות

1. אם [math]\displaystyle{ A_1\subseteq A_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(A_1)\subseteq f(A_2) }[/math]
2. אם [math]\displaystyle{ B_1\subseteq B_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2) }[/math]

תרגיל. הוכח/הפרך: תהיינה [math]\displaystyle{ A,B \subseteq X }[/math] ותהי f פונקציה [math]\displaystyle{ f:X \to Y }[/math]. אזי:

א. [math]\displaystyle{ f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B) }[/math].

ב. [math]\displaystyle{ f(A)\cap f(B)\supseteq f(A\cap B) }[/math].

פתרון.

א. נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים [math]\displaystyle{ x\neq y }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)=f(y) }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ A=\{x\},B=\{y\} }[/math] אזי:

[math]\displaystyle{ f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B) }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) }[/math]

הערה אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אז יש שיוויון!

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math]. הוכח [math]\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}(f(A)) }[/math]. וקיים שיוויון אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע

פתרון.

יהא [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(a)\in f(A) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a\in f^{-1}(f(A)) }[/math].

נראה את ההכלה בכיוון השני אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע:

יהא [math]\displaystyle{ x\in f^{-1}(f(A)) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ f(x) \in f(A) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \exists a\in A : f(x)=f(a) }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע נובע כי [math]\displaystyle{ x=a\in A }[/math]

דוגמא שלא מתקיים שיוויון [math]\displaystyle{ f:\{1,2\}\to \{1\} }[/math] (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר [math]\displaystyle{ A=\{2\} }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A }[/math]

תרגיל ממבחן (קצת משודרג)

יהיו [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] שתי קבוצות, ותהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ g:P(Y)\rightarrow P(X) }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ g(B)=f^{-1}(B) }[/math]. בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).

פתרון.

1. f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח [math]\displaystyle{ f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A) }[/math] נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) [math]\displaystyle{ B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A }[/math]

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי [math]\displaystyle{ \exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y }[/math] לכן [math]\displaystyle{ g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\}) }[/math] בסתירה לחח"ע של g.

2. f חח"ע אמ"מ g על בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי [math]\displaystyle{ g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A }[/math] ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] )

בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים [math]\displaystyle{ x,y \in X }[/math] שונים כך ש [math]\displaystyle{ f(x)=f(y) }[/math]. נביט בנקודון [math]\displaystyle{ A=\{x\} }[/math]

כיוון ש g על קיימת [math]\displaystyle{ B\in P(Y) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f^{-1}(B)=g(B)=A }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \{y,x\}\subseteq \{x\} }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ x=y }[/math]. סתירה.

מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:

• ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)

• יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)

• ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)

• ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)

אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל

למשל: יהיו [math]\displaystyle{ X=\mathbb{Z}, Y=\{0\} }[/math]. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן [math]\displaystyle{ g(\{\})\neq g(\{0\}) }[/math] ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow X }[/math] פונרציה. נקודת שבת של [math]\displaystyle{ f }[/math] היא [math]\displaystyle{ x\in X:f(x)=x }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ A=\{x\in X|f(x)=x\} }[/math]. הוכיחו או הפריכו:

א. [math]\displaystyle{ f[A]=A }[/math].

ב. [math]\displaystyle{ f^{-1}[A]=A }[/math].

ג. לכל [math]\displaystyle{ B\subseteq X }[/math] נקבל: [math]\displaystyle{ f[B]\subseteq B }[/math] אמ"ם קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] נקודת שבת.

פתרון

א. הוכחה: [math]\displaystyle{ a\in A\iff f(a)=a\iff a\in f[A] }[/math].

ב. הפרכה: מספיק שיש עוד מישהו מחוץ ל-A שנלשח לA.

ג. הפרכה: [math]\displaystyle{ f:\{ 0,1\} \rightarrow \{ 0,1\} }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ f(a)=1-a }[/math] מקיימת עבור הקבוצה עצמה שיוויון אך אין נק' שבת.

פונקציה מצומצמת

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math]. הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: [math]\displaystyle{ f|_A:A\rightarrow Y }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f|_A(a)=f(a) }[/math].

דוגמא. נביט ב-[math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} }[/math] המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת [math]\displaystyle{ f|_{\mathbb{N}} }[/math] כן חח"ע.

תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-[math]\displaystyle{ f|_A }[/math] חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר [math]\displaystyle{ im(f|_A)=im(f) }[/math]).

פתרון.

נגדיר לכל [math]\displaystyle{ y\in im(f) }[/math] את הקבוצה של המקורות שלו [math]\displaystyle{ B_y:=f^{-1}(\{y\}) }[/math] כעת נבחר מכל [math]\displaystyle{ B_y }[/math] איבר יחיד [math]\displaystyle{ x_y\in B_y }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ A=\{x_y | y\in Im(f)\} }[/math]. כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי [math]\displaystyle{ f|_A }[/math] חח"ע עם אותו טווח של [math]\displaystyle{ f }[/math].

אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)