תרגילי חובה לא סטנדרטיים

תרגילים שעלולים לשכוח ולא כדאי:

אלגברה לינארית

• חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה
• אין מטריצה אנטי-סימטרית הפיכה מממד אי-זוגי

חשבון אינפיניטיסימלי

חשבון במשתנה ממשי יחיד

• אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים [math]\displaystyle{ \{a_1,\dots,a_n\} }[/math] מתקיים אי השיוויון [math]\displaystyle{ \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n} }[/math]. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.
• הלמה של Fekete: אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-[math]\displaystyle{ \frac{a_n}{n} }[/math] יש גבול במובן הרחב השווה ל[math]\displaystyle{ \inf a_n }[/math]).
• המשפט של Stolz-Cesàro: אם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סידרה חיובית כך ש[math]\displaystyle{ \sum_n b_n=\infty }[/math] אז לכל סידרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math], [math]\displaystyle{ \limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n} }[/math].
• קירוב Stirling: [math]\displaystyle{ \Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n }[/math].
• סומביליות Abel: אם הסכום [math]\displaystyle{ \sum_n a_n }[/math] קיים אז גם [math]\displaystyle{ \sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n }[/math] קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
• סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
• משפט Tauber: אם הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] סכים-Abel ו[math]\displaystyle{ a_n=o(\frac1n) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n }[/math].
• הלמה של Reimann-Lebesgue: אם [math]\displaystyle{ f\in \mathcal{R}([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left|n\right|\to\infty}{\longrightarrow}0 }[/math] (כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים).

תורת החבורות

• יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.