88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים/פתרון 1

הצרנות

• • לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.

[math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R}\exists n\in\mathbb{N}:n\gt x }[/math]

• • אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ([math]\displaystyle{ P(1)\equiv T }[/math]) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.

[math]\displaystyle{ \Big[P(1)\and (\forall n\in\mathbb{N}:P(n)\rightarrow P(n+1))\Big]\rightarrow\forall n\in\mathbb{N}:P(n) }[/math]

• • x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).

נגדיר את הפרדיקט בעל שני המשתנים "x מחלק את y" ונסמן אותו באופן הנהוג [math]\displaystyle{ x|y }[/math]. לכן x ראשוני אם [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x)) }[/math]

• • כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.

[math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{N}:\Big[\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))\Big]\rightarrow \Big[\exists n\in\mathbb{N}\exists k\in\mathbb{N}:2n+2k=x\Big] }[/math]

• • קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

"קיימים אינסוף" הוא תנאי שיש להגדיר. ההגדרה האינטואיטיבית הינה לא קיים מספר סופי של איברים כאלה, כלומר ההנחה שיש מספר סופי תוביל לשלילה. הראנו בתרגיל אחר שזה שקול לטענה לכל מספר יש מספר הגדול ממנו המקיים את התנאי, וזה מה שנצרין כאן.

[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\exists x\in\mathbb{N}:\Big[x\gt n\Big]\and\Big[\forall k\in\mathbb{N}: (k|x)\rightarrow ((k=1)\or(k=x))\Big] \and \Big[\forall k\in\mathbb{N}: (k|x+2)\rightarrow ((k=1)\or(k=x+2))\Big] }[/math]

קבוצות

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB

[math]\displaystyle{ x\in A\cup B \iff (x\in A) \or (x\in B) }[/math]

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB

[math]\displaystyle{ x\notin A\cup B \iff \neg\Big[(x\in A) \or (x\in B)\Big]\iff (x\notin A) \and (x\notin B) }[/math]

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

[math]\displaystyle{ x\in A\cap B \iff (x\in A) \and (x\in B) }[/math]

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

[math]\displaystyle{ x\notin A\cap B \iff \neg\Big[(x\in A) \and (x\in B)\Big]\iff (x\notin A) \or (x\notin B) }[/math]

• הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB

[math]\displaystyle{ C\subseteq (A\cap B)\iff \forall c\in C: c\in (A\cap B) \iff \forall c\in C: (c\in A) \and (c\in B) }[/math]

• הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB

[math]\displaystyle{ \neg\Big[C\subseteq (A\cap B)\Big]\iff \neg\Big[\forall c\in C: (c\in A) \and (c\in B)\Big]\iff \exists c\in C: (c\notin A)\or (c\notin B) }[/math]

שקילות

• הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש[math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות:

[math]\displaystyle{ A_1\rightarrow A_2 }[/math],

[math]\displaystyle{ A_2\rightarrow A_3 }[/math],

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{n-1}\rightarrow A_n }[/math],

[math]\displaystyle{ A_n\rightarrow A_1 }[/math]

• הוכחה:

נניח שהטענות שקולות ונניח ש[math]\displaystyle{ A_i }[/math] אמיתית. לכן [math]\displaystyle{ A_{i+1} }[/math] חייבת להיות אמיתית, לכן [math]\displaystyle{ A_{i+2} }[/math] גם וכן הלאה עד [math]\displaystyle{ A_n }[/math] זה גורר את נכונות [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] וכך הלאה עד שנגיע לכל הטענות.

לכן, אם טענה אחת אמיתית, כולן אמיתיות. נובע בקלות שאם אחת תהא שקרית, לא ייתכן שאף אחת אחרת תהא אמיתית ולכן כולם אמיתיות ושקריות יחדיו.

דרכי הוכחה

הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:

• [math]\displaystyle{ (A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) }[/math]
• [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F) }[/math]

התשובה הינה בדיקה קלה בטבלת אמת.