88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9

חזרה למערכי התרגול

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] העתקה לינארית, ויהיו [math]\displaystyle{ E,F }[/math] בסיסים ל[math]\displaystyle{ V,W }[/math] בהתאמה. נסמן [math]\displaystyle{ E=\{v_1,...,v_n\} }[/math]. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E. מסמנים

[math]\displaystyle{ [T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix} }[/math]

הערה : המטריצה [math]\displaystyle{ [T]^E_F }[/math] היא המטריצה היחידה המקיימת את הטענה הבאה

לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ [T]^E_F[v]_E=[Tv]_F }[/math]

הערה: שימו לב שמטריצת מעבר [math]\displaystyle{ [I]_B^{B'} }[/math] היא מקרה פרטי של מטריצה מייצגת. היא מייצגת את העתקת הזהות (ומכאן הסימון) [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] שני בסיסים של המרחב.

דוגמא

דוגמא: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math]. ויהיו [math]\displaystyle{ E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\} }[/math] בסיסים בהתאמה

נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל בעזרת משפט ההגדרה [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c} b+c\\ a \end{array}\right) }[/math] .

מצא את [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E} }[/math]

פתרון: [math]\displaystyle{ T(1)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(x)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(x^{2})=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) }[/math]

ולכן, בסך הכל נקבל [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]

הערה: שימו לב, כפי שראינו בתרגיל זה, שאם ניקח את הוקטורים [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math] ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math] (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי)

תרגיל (6.12)

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 }[/math] העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ [T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

פתרון.

בסיס סדור יכיל שני וקטורים [math]\displaystyle{ v_1=(a,b),v_2=(c,d) }[/math]. לפי הנתונים [math]\displaystyle{ T(a,b)=(a,-b) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ T(c,d)=(c,-d) }[/math].

עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן

[math]\displaystyle{ (a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d) }[/math]

[math]\displaystyle{ (c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d) }[/math]

ביחד קיבלנו 4 משוואות:

[math]\displaystyle{ a=-a \Rightarrow a=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ -b=-b }[/math]

[math]\displaystyle{ c=2a+c=c }[/math]

[math]\displaystyle{ -d = 2b+d \Rightarrow d=-b }[/math]

לכן, עלינו לבחור [math]\displaystyle{ b,c,d }[/math] שיקיימו את המשוואות לעיל וגם יתקיים שהוקטורים [math]\displaystyle{ (a,b),(c,d) }[/math] בת"ל.

לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.

ניקח [math]\displaystyle{ (0,1),(1,-1) }[/math] ואכן תנאי השאלה מתקיימים.

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ V_1, V_2, V_3 }[/math] מרחבים וקטורים עם בסיסים [math]\displaystyle{ B_1, B_2, B_3 }[/math]בהתאמה. יהיו [math]\displaystyle{ T:V_1\to V_2 S:V_2\to V_3 }[/math] שתי ה"ל אזי מתקיים [math]\displaystyle{ [S\circ T]^{B_1}_{B_3}=[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2} }[/math]

הוכחה מ"ל כי לכל [math]\displaystyle{ v\in V_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =[(S\circ T)(v)]_{B_3} }[/math] (כי המטריצה המייצגת היא היחידה המקיימת את התנאי הזה)

ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי

[math]\displaystyle{ [S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} = [S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}= [S(T(v))]_{B_3} = [(S\circ T)(v)]_{B_3} }[/math]

מסקנה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו, יהיו [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר [math]\displaystyle{ [I]_B^{B'} }[/math] הפיכה ומתקיים [math]\displaystyle{ ([I]_B^{B'})^{-1} =[I]_{B'}^{B} }[/math] (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך")

הוכחה: ישירות מתרגיל הקודם, [math]\displaystyle{ [I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'}^{B} =[I]_{B}^{B} =I }[/math]

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו, [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בסיסים, [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] הע"ל. הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ ([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B }[/math].

פתרון

ממש לא. ראשית, מי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: [math]\displaystyle{ [T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B }[/math], ואכן: [math]\displaystyle{ [T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B }[/math].

תרגיל

[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math]. ויהיו [math]\displaystyle{ E=\{-1,2+x,3+x+x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\} }[/math] בסיסים בהתאמה

נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל באופן הבא (בעזרת משפט ההגדרה) [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c} b+c\\ a \end{array}\right) }[/math] . מצא את [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E} }[/math]

פתרון: [math]\displaystyle{ T(-1)=\left(\begin{array}{c} 0\\ -1 \end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(-1)]_{F}=\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(2+x)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(2+x)]_{F}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(3+x+x^{2})=\left(\begin{array}{c} 2\\ 3 \end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+3\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [T(3+x+x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c} -1\\ 3 \end{array}\right) }[/math]

ולכן, בסופו של דבר, [math]\displaystyle{ [T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1\\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right) }[/math]

דרך פתרון נוספת

לא תמיד קל להביע וקטור כצ"ל של האחרים (בתרגיל הזה זה פשוט נתון..). הנה עוד דרך, נמצא את המטריצות [math]\displaystyle{ [I]_F^S,[T]_S^E }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא בסיס סטנדרטי (שימו לב שיש פה שניים) ואז נכפול בניהם, ולפי הערה ממקודם נקבל [math]\displaystyle{ [I]_F^S \cdot [T]_S^E = [T]_F^E }[/math].

המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_S^E }[/math] קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי [math]\displaystyle{ S }[/math] זה קל

[math]\displaystyle{ [T]_S^E = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

כעת בשביל לחשב את [math]\displaystyle{ [I]_F^S }[/math] יש לחשב את ההופכית של [math]\displaystyle{ [I]_S^F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

שהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך..)

[math]\displaystyle{ [I]_F^S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

נכפיל את המטריצות ואכן נקבל

[math]\displaystyle{ [T]_F^E= [I]_F^S [T]_S^E = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

תרגיל חשוב!

תהא [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2} }[/math] המקיימת כי [math]\displaystyle{ T\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right\} }[/math] ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה [math]\displaystyle{ [T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 & 8 & x\\ 0 & 0 & 4 & x \end{array}\right) }[/math] (עבור איזה שהן בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math]) מצאו את [math]\displaystyle{ x }[/math].

• קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של [math]\displaystyle{ [T^{10}]_{S}^{S} }[/math] הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי).

• הוכיחו שקיים בסיס [math]\displaystyle{ D }[/math] ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{2\times2} }[/math] כך המטריצה המייצגת מהצורה

[math]\displaystyle{ [T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & * & * & *\\ 0 & * & * & *\\ 0 & * & * & *\\ 0 & * & * & * \end{array}\right) }[/math]

ויש בנוסף שורת אפסים

תרגיל חשוב!

יהא [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] ושני בסיסים [math]\displaystyle{ B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\} }[/math] שני בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math]. בנוסף, נסמן [math]\displaystyle{ S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\} }[/math] את הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ V }[/math].

• מצאו את מטריצות המעבר [math]\displaystyle{ [I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S} }[/math] ומצאו את [math]\displaystyle{ [I]_{B}^{C} }[/math]

• נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ע"י הכלל [math]\displaystyle{ T(p(x))=p(x+1) }[/math]. מצאו את המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C} }[/math].

• • הוכיחו/הפריכו: קיימת [math]\displaystyle{ \hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]

וגם[math]\displaystyle{ [T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]

• • הוכיחו/הפריכו: קיימת [math]\displaystyle{ \hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ [\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ [T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) }[/math]

• • מצאו לאילו ערכי [math]\displaystyle{ a }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ \hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ [\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & a \end{array}\right) }[/math]

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם

הנה אלגוריתם שמכליל את הדוגמא הקודמת.

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

1. מצא את מטריצת המעבר [math]\displaystyle{ [I]^F_S }[/math] (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
2. הפוך אותה על מנת לקבל את [math]\displaystyle{ [I]^S_F }[/math]
3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל [math]\displaystyle{ Tv_1,...,Tv_n }[/math]
4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math]
5. כפול מטריצות על מנת לקבל [math]\displaystyle{ [T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S }[/math]

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס [math]\displaystyle{ E=\{v_1,...,v_n\} }[/math]. רוצים למצוא את [math]\displaystyle{ Tv }[/math] עבור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור כלשהו.

1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את [math]\displaystyle{ [T]^E_S }[/math].
2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל [math]\displaystyle{ [T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E }[/math]
3. [math]\displaystyle{ [T][v]=[Tv] }[/math] מכיוון שכל אלה בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.

דוגמא

תרגיל. יהיו [math]\displaystyle{ V=span\{v_1=(1,0,-1,1),v_2=(-2,1,2,0),v_3=(0,-1,0,1)\} }[/math] ו [math]\displaystyle{ W=\mathbb{R}_3[x] }[/math] מ"ו. תהי העתקה T מV לW המקיימת [math]\displaystyle{ \forall i:Tv_i=w_i }[/math] כאשר

[math]\displaystyle{ w_1=1+x }[/math]

[math]\displaystyle{ w_2=x^3+x^2+x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ w_3=0 }[/math]

מצא את ההעתקה T במפורש.

פתרון

דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מ [math]\displaystyle{ B=\{v_1,v_2,v_3\} }[/math] לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

[math]\displaystyle{ [T]^B_S =\begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[Tv_1]_S & [Tv_2]_S &[Tv_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[w_1]_S & [w_2]_S &[w_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &1 \\ -2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 &0 & 0 &3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix} }[/math] ולכן בסיס אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא [math]\displaystyle{ S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\} }[/math]. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב [math]\displaystyle{ [(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z) }[/math].

כעת נמצא מטריצת מעבר [math]\displaystyle{ [I]^B_{S_V}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]

נהפוכו על מנת לקבל:

[math]\displaystyle{ [I]^{S_V}_B=([I]^B_{S_V})^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]

ביחד אנו מקבלים

[math]\displaystyle{ [T]^{S_V}_S=[T]^{B}_S\cdot [I]^{S_V}_B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]

לכן, [math]\displaystyle{ [T(-x,y,x,z)]_S=[T]^{S_V}_S[(-x,y,x,z)]_{S_V}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\ y+z \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \end{pmatrix} }[/math]

ולכן בסופו של דבר:

[math]\displaystyle{ T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3 }[/math]

מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה

טענה: יהא [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מימד סופי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots v_n\} }[/math] בסיס. תהא [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה. אזי קיים [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס אחר כך ש [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B= A }[/math]

(במילים: המטריצה A היא מטריצת מעבר מאיזה שהוא בסיס אחר לבסיס הנתון)

הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ B'=\{v'_1,\dots v'_n\} }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ v'_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i }[/math]. לפי הגדרה מתקיים כי [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B= A }[/math]. נותר להוכיח כי אכן [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס. כיוון ש [math]\displaystyle{ |B'|=n }[/math] אזי אם נוכיח כי [math]\displaystyle{ B' }[/math] בת"ל אזי הוא בסיס לפי השלישי חינם.

נוכיח כי [math]\displaystyle{ B' }[/math] בת"ל

נניח כי [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =0 }[/math]. צ"ל כי [math]\displaystyle{ \forall i \; \alpha_i =0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 0=\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =\sum_{j=1}^n \alpha_j \sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i =\sum_{i=1}^n \big( \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} \big) \cdot v_i }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל נקבל כי לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} =0 }[/math]

אבל זה בדיוק הקורדינאטה ה [math]\displaystyle{ i }[/math] - ית של הכפל [math]\displaystyle{ (\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ (\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A =(0,0,\dots ,0) }[/math] ע"י הכפלה מימין ב [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] נקבל את הדרוש.

בניה:

על המטריצות הריבועיות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר יחס שקילות באופן הבא: [math]\displaystyle{ A\approx B }[/math] אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math].

יחס זה נקרא "הצמדה".

הוכיחו כי זהו אכן יחס שקילות.

טענה מרכזית

יהא [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מימד סופי [math]\displaystyle{ n }[/math]. תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ה"ל. ונשתמש בסימון [math]\displaystyle{ \approx }[/math] כיחס ההצמדה על המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] שהגדרנו לעיל.

מתקיים כי

1. [math]\displaystyle{ [T]_B \approx [T]_{B'} }[/math] עבור כל 2 בסיסים [math]\displaystyle{ B,B' }[/math]

2. אם [math]\displaystyle{ [T]_B \approx A }[/math] עבור [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [T]_{B'}=A }[/math]

במילים- המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה עד כדי הצמדה.

כלומר אם נייצג את [math]\displaystyle{ T }[/math] ע"י 2 בסיסים נקבל מטריצות צמודות ומאידך גיסא אם יש מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הצמודה לאיזה שהוא מטריצה מייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] אז גם המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מייצגת את [math]\displaystyle{ T }[/math]

הוכחה:

1. מתקיים בגלל השיוויון [math]\displaystyle{ [T]^B_B=[I]^{B'}_B[T]^{B'}_{B'}[I]^B_{B'} }[/math] ומתקיים כי [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B }[/math] הופכית של [math]\displaystyle{ [I]^B_{B'} }[/math]

2. נתון כי קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P^{-1}[T]_BP = A }[/math] מהטענה שהוכחנו לעיל קיים בסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [I]^{B'}_B= P }[/math] ואז [math]\displaystyle{ A=P^{-1}[T]_BP = [I]^B_{B'}[T]_B[I]^{B'}_B=[T]^{B'}_{B'} }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ A }[/math] אכן מייצגת את [math]\displaystyle{ T }[/math] לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math].

הגדרה: יהא [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מימד סופי [math]\displaystyle{ n }[/math]. תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ה"ל.

אזי העקבה של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדרת להיות [math]\displaystyle{ trace(T)=trace([T]_B) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס כלשהוא. (או בקיצור [math]\displaystyle{ tr([T]_B) }[/math])

הערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ trace([T]_{B'})=trace([T]_B) }[/math].

למה? לפי הטענה המרכזית קיימת [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כך ש [math]\displaystyle{ [T]_B=P^{-1}[T]_{B'}P }[/math] ואז מתקיים [math]\displaystyle{ tr([T]_B)=tr(P^{-1}[T]_{B'}P)=tr(PP^{-1}[T]_{B'})=tr([T]_{B'}) }[/math]

המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות [math]\displaystyle{ A,B }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]