88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8

0

הוכיחו כי לכל בסיס א"ג [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] ולכל סקלרים [math]\displaystyle{ \{a_1,...,a_n\} }[/math] מתקיים כי

הקבוצה [math]\displaystyle{ \{a_1v_1,...,a_nv_n\} }[/math] בסיס א"ג אם"ם [math]\displaystyle{ \forall i:a_i\neq 0 }[/math]

1

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ A=A^* }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ N(A)=N(A^2) }[/math]

(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)

2

תהי [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{R}^{3\times 3} }[/math] מטריצה אוניטרית המקיימת [math]\displaystyle{ |A|=1 }[/math].

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ (tr(A))^2-tr(A^2)=2tr(A) }[/math]

(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)

3

יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.

א

יהי [math]\displaystyle{ B=\{w_1,...,w_k\} }[/math] בסיס א"נ ל W.

יהיו [math]\displaystyle{ v_{k+1},...,v_n }[/math] המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.

לכל [math]\displaystyle{ k+1\leq i \leq n }[/math] נסמן:

[math]\displaystyle{ v'_i=v_i-\pi_W(v_i) }[/math]

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\} }[/math] בסיס ל V

ב

הוכיחו את משפט הפירוק הניצב [math]\displaystyle{ W\oplus W^\perp=V }[/math]

ג

מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל [math]\displaystyle{ \pi_W }[/math]

4

יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ v\notin W }[/math].

הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ ||v-\pi_W(v)||\lt ||v-w|| }[/math]

(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)

5

נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] על ידי:

[math]\displaystyle{ \lt A,B\gt :=tr(AB^*) }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את [math]\displaystyle{ U^\perp }[/math]

6

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב ממימד k.

הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] למרחב V מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k }[/math]