88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1

1

קבע האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט/בתנאי/מתבדרים

א

[math]\displaystyle{ \sum(-1)^nln\Big(\frac{2+2+3+...+n}{1+2+3+...+n}\Big) }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \sum(-1)^nn\cdot ln(cos(\frac{1}{n})) }[/math]

2

חשב את הגבולות הבאים

א

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}x\Big[ln^2(x+1)-ln^2(x-1)\Big] }[/math]

3

א

הוכח כי לכל x ממשי מתקיים

[math]\displaystyle{ e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} }[/math]

ב

הוכיח כי לכל x שלילי מתקיים

[math]\displaystyle{ e^x\lt 1+x+\frac{x^2}{2} }[/math]

4

א

יהיו f,g פונקציות רציפות בכל הממשיים המקיימות [math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=g(x) }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ f\equiv g }[/math] על כל הממשיים.

ב

מצא לאילו ערכי [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ובאילו נקודות הפונקציה הבאה גזירה:

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3-x+\alpha&x\in\mathbb{Q}\\\frac{1}{2}x^2-x&x\notin\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]

5

תהי f פונקציה רציפה וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]

א

נניח כי f אינה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] לכל הצבה של [math]\displaystyle{ f(a) }[/math]. הוכח כי הנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math] אינה חסומה מלעיל ואינה חסומה מלרע בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]

ב

הוכח שהכיוון ההפוך אינו נכון באופן כללי: תן דוגמא לפונקציה f כך שהנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math] אינה חסומה מלעיל ואינה חסומה מלרע בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math], ואילו f רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].