88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2
שאלה 1
א
קבע לאילו ערכי x הטור הבא מתכנס ומצא את סכומו
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\Big(ln(1+\frac{1}{|x|})\Big)^n }[/math]
ב
קבע האם הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
- [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{ln(n!)} }[/math]
שאלה 2
א
תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\epsilon }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ 0\lt a_{n+1}-a_n\lt \epsilon }[/math]
הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת
ב
חשב את הגבול הבא
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x} }[/math]
רמז: [math]\displaystyle{ t=\frac{1}{x^2} }[/math]
שאלה 3
מצא ביטוי פולינומי (סופי) המקרב את המספרים הבאים לדיוק של 2 ספרות:
- [math]\displaystyle{ \pi,ln(2) }[/math]
שאלה 4
תהי f פונקציה זוגית, הגזירה אינסוף פעמים
א
הוכח כי [math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math]
ב
הוכח כי [math]\displaystyle{ f^{(2n+1)}(0)=0 }[/math] לכל n
שאלה 5
תהי f פונקציה גזירה בעלת נגזרת מונוטונית
א
הוכח/הפרך: אם f מונוטונית אזי [math]\displaystyle{ \forall x:f(x)\neq 0 }[/math]
ב
הוכח/הפרך: אם [math]\displaystyle{ \forall x:f(x)\neq 0 }[/math] אזי f מונוטונית