88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1

בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב

1

[math]\displaystyle{ L }[/math] הנו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \varepsilon }[/math] .

[math]\displaystyle{ L }[/math] אינו גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך שלכל מקום [math]\displaystyle{ N }[/math] בסדרה קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge\varepsilon }[/math] .

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

[math]\displaystyle{ a_{n+1}\lt a_n\iff a_n^2\lt a_{n-1}^2\iff a_n\lt a_{n-1} }[/math]

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר [math]\displaystyle{ c\gt 1 }[/math] הסדרה מונוטונית עולה, כאשר [math]\displaystyle{ c=1 }[/math] קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ולכן זהו גבולה.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=L }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ L^2=L }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] או [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] . כיון שאנו עוסקים במקרה בו [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] והסדרה מונוטונית יורדת, [math]\displaystyle{ L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] .

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0

ב

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9 }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ L=\frac{L^2}{2}+\frac12 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]

ד

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3 }[/math]

ה

לפי משפט אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L }[/math] קיים, אזי מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L }[/math] (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

[math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4 }[/math]