88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים כלליים

חזרה לטורים

התכנסות בהחלט

הגדרה.

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] טור. אזי אומרים כי הטור מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים שלו [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n| }[/math] מתכנס.

טור מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס, אבל לא מתכנס בהחלט.

דוגמא.

הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n} }[/math] אינו מתכנס בהחלט, כיון שטור הערכים המוחלטים [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n }[/math] מתבדר.

משפט.

טור מתכנס בהחלט, מתכנס. כלומר אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n| }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס. (ההפך לא נכון בהכרח.)

סקיצה של ההוכחה.

אם הטור מתכנס בהחלט, אזי סכום האברים החיוביים בלבד של הטור המקורי מתכנס (לפי מבחן ההשוואה הראשון, שכן סכום החיוביים בלבד קטן מסכום כל הערכים המוחלטים). באופן דומה סכום האברים השליליים של הטור המקורי מתכנס (שכן הוא מינוס של טור חיובי המתכנס לפי מבחן ההשואה הראשון). ביחד, סכום החיוביים פחות סכום השליליים מתכנס ושווה לסכום הטור.

שימו לב כי זו אינה הוכחה מלאה, יש לדייק בטיעונים.

מבחני התכנסות כלליים

עד כה למדנו את מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים. כעת נלמד על מבחני התכנסות נוספים, שאינם דורשים כי כל איברי הסדרה יהיו חיוביים.

מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת ל-0. אזי הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n }[/math] מתכנס.

דוגמאות.

הטורים הבאים מתכנסים לפי מבחן לייבניץ:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln(n)}\\ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin\left(\tfrac1n\right)\end{align} }[/math]

מבחן דיריכלה - סדרה מונוטונית כפול סדרה עם טור חסום

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית מונוטונית יורדת השואפת ל-0. תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה:

[math]\displaystyle{ \exist M\forall N:|S_N|=\left|\sum_{n=1}^Nb_n\right|\lt M }[/math]

אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n }[/math] מתכנס.

דוגמא.

ראשית נוכיח כי הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin(n) }[/math] חסום (כלומר סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה).

נבחן את סדרת הסכומים החלקיים:

[math]\displaystyle{ S_n=\sin(1)+\cdots+\sin(n) }[/math]

נכפול את שני הצדדים בקבוע [math]\displaystyle{ 2\sin(1) }[/math] לקבל

[math]\displaystyle{ 2\sin(1)S_n=2\sin(1)\sin(1)+2\sin(2)\sin(1)+\cdots+2\sin(n)\sin(1) }[/math]

נפעיל את הזהות הטריגונומטרית [math]\displaystyle{ 2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) }[/math] :

[math]\displaystyle{ 2\sin(1)S_n=\cos(0)-\cos(2)+\cos(1)-\cos(3)+\cos(2)-\cos(4)+\cdots+\cos(n-1)-\cos(n+1) }[/math]

זהו טור טלסקופי, ולאחר צמצום אנו נשארים עם

[math]\displaystyle{ 2\sin(1)S_n=\cos(0)+\cos(1)-\cos(n)-\cos(n+1) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ |S_n|=\left|\dfrac{\cos(0)+\cos(1)-\cos(n)-\cos(n+1)}{2\sin(1)}\right|\le\dfrac2{\sin(1)} }[/math]

כלומר סדרת הסכומים החלקיים אכן חסומה.

כעת, נובע בקלות ממבחן דיריכלה כי הטורים הבאים מתכנסים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{\sqrt n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{\ln(n)}\end{align} }[/math]

תרגיל.

בדוק את התכנסות הטורים הבאים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}\\\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin(n)|}{n}\end{align} }[/math]

פתרון.

נביט בזהות הטריגונומטרית [math]\displaystyle{ 2\sin^2(\alpha)=1-\cos(2\alpha) }[/math] . לכן

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos(2n)}{2n} }[/math]

ניתן באמצעות מבחן דיריכלה, באופן דומה לתרגיל הקודם, להוכיח כי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(2n)}{2n} }[/math] מתכנס. נניח בשלילה כי הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n} }[/math] מתכנס, ונקבל כי הטור

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2(n)}{n}+\frac{\cos(2n)}{2n} }[/math]

הוא סכום טורים מתכנסים ולכן מתכנס וזו סתירה, כיון שאנו יודעים שטור זה מתבדר.

כעת, נשים לב כי [math]\displaystyle{ |\sin(n)|\ge\sin^2(n) }[/math] ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{|\sin(n)|}{n} }[/math] מתבדר.