88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון

גבול עליון וגבול תחתון

למדנו על חסמים על-מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת אברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת אברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:

[math]\displaystyle{ 100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots }[/math]

החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.

הגדרה.

נגדיר

[math]\displaystyle{ \begin{align} b_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\ b_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,\ldots\}\\b_3&=\sup\{a_3,a_4,\ldots\}\\&\vdots\\b_k&=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\} \end{align} }[/math]

כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.

אם כך, סדרת החסמים [math]\displaystyle{ b_k }[/math] מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\to\infty}b_k=\inf\{b_1,b_2,b_3,\ldots\} }[/math]

נגדיר את הגבול העליון של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] להיות

[math]\displaystyle{ \displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{k\to\infty}b_k }[/math]

במילים בלתי-מדויקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".

באופן דומה, הגבול התחתון הנו גבול החסמים התחתונים של קבוצות אברי הסדרה.

העשרה

סדרה הנה פונקציה [math]\displaystyle{ a_n=a(n) }[/math] מהטבעיים לקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] , כלומר יחס חד ערכי ושלם [math]\displaystyle{ a\subseteq\N\times A }[/math] . אם כך, אנו מגדירים [math]\displaystyle{ b_k:=\sup\Big[im\big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,k-1\})\times A\big]\Big] }[/math]

דוגמאות.

נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] . נבנה את סדרת החסמים [math]\displaystyle{ b_k }[/math] :

[math]\displaystyle{ b_1=\sup\{-1,1\}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ b_2=\sup\{-1,1\}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

ולכן הגבול העליון הנו [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1 }[/math]

נביט כעת בסדרת החסמים [math]\displaystyle{ c_i }[/math] :

[math]\displaystyle{ c_1=\inf\{-1,1\}=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ c_2=\inf\{-1,1\}=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

ולכן הגבול התחתון הנו [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}c_i=-1 }[/math]

נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] .

[math]\displaystyle{ b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ b_2=\sup\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_3=\sup\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=\frac{1}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ b_i=\frac{1}{i} }[/math]

ולכן הגבול העליון הנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{i\to\infty}b_i=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ c_1=\inf\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ c_3=\inf\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ c_i=0 }[/math]

ולכן הגבול התחתון הנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{i\to\infty}c_i=0 }[/math]

הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות

משפט. לכל סדרה יש תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.

לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.

משפט. גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל-L.

תרגיל.

יהיו [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\le b_n }[/math] . הוכח/הפרך:

1. [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}a_n\le\liminf_{n\to\infty}b_n }[/math]

פתרון

1. הוכחה:

לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון [math]\displaystyle{ a_{n_k}\to\limsup_{n\to\infty}a_n }[/math]
לפי הנתון [math]\displaystyle{ a_{n_k}\le b_{n_k} }[/math]
לתת הסדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] קיימת תת-סדרה השואפת לגבול העליון [math]\displaystyle{ b_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}b_{n_k} }[/math]
כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}}\to\limsup_{n\to\infty}a_n }[/math]
מכיון ש [math]\displaystyle{ b_{n_{k_j}} }[/math] תת-סדרה של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] .
- כלומר, [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}b_{n_k} }[/math] הנו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] .
הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\le\limsup_{n\to\infty}b_n }[/math]
כמו כן, כיון ש- [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}}\le b_{n_{k_j}} }[/math] , הגבולות מקיימים את אותו היחס:

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_{n_k} }[/math]

ביחד אנו מקבלים [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n\le\limsup_{n\to\infty}b_n }[/math]

2. הפרכה פשוטה: [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]

3. הוכחה:

ידוע מתרגילי הבית כי [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}a_n=-\limsup_{n\to\infty}{(-a_n)} }[/math]

לכן, לפי סעיף א',

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}(-a_n)\ge\limsup_{n\to\infty}(-b_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ -\limsup_{n\to\infty}(-a_n)\le-\limsup_{n\to\infty}(-b_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}(-a_n)\le\liminf_{n\to\infty}(-b_n) }[/math]

תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חסומה המקיימת

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0 }[/math]

הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שווה ל- [math]\displaystyle{ \Big[\liminf_{n\to\infty}a_n,\limsup a_n\Big] }[/math]

הוכחה

נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ב-A.

כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf_{n\to\infty}a_n\in A }[/math]

כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big] }[/math].

נניח בשלילה כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big) }[/math] שאינה גבול חלקי של הסדרה

אזי קיימת סביבת אפסילון של c, המוכלת ממש בקטע, בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה

נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.

כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ [math]\displaystyle{ c-\epsilon }[/math] וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ[math]\displaystyle{ c+\epsilon }[/math]

כיוון שנתון [math]\displaystyle{ \lim|a_{n+1}-a_n|=0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_{2\epsilon} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_{2\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\lt 2\epsilon }[/math]

ניקח שני איברים [math]\displaystyle{ a_m,a_{m+k} }[/math] האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי [math]\displaystyle{ m\gt n_{2\epsilon} }[/math] (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)

נוציא מבין [math]\displaystyle{ a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k} }[/math] זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל

המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-[math]\displaystyle{ 2\epsilon }[/math] בסתירה.

תרגיל.

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות חסומות. הוכיחו כי:

[math]\displaystyle{ \liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n }[/math]

הוכחה.

הצד הימני של אי השיוויון:

קיימת לסדרה [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k}+b_{n_k} }[/math] המתכנסת לגבול החלקי העליון [math]\displaystyle{ \lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n }[/math]

(שימו לב שתת הסדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] לא בהכרח מתכנסת.)

תת הסדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}} }[/math].

כיוון שתת הסדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k}+b_{n_k} }[/math] מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n }[/math]

ביחד, אנו מקבלים כי [math]\displaystyle{ \lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}} }[/math] (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות).

כלומר, הראנו כי תת הסדרה [math]\displaystyle{ b_{n_{k_j}} }[/math] מתכנס.

ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן [math]\displaystyle{ \lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n }[/math] וכמו כן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n }[/math]

ביחד מקבלים [math]\displaystyle{ \limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n }[/math], כפי שרצינו.

הצד השמאלי של אי השיוויון:

קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] השואפת לגבול העליון של הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lim b_{n_k}=\limsup b_n }[/math]

תת הסדרה המקבילה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}} }[/math]

ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן [math]\displaystyle{ \liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}} }[/math]

כמו כן, כיוון שהסדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר [math]\displaystyle{ \lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n }[/math]

ביחד מקבלים כי [math]\displaystyle{ \liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}} }[/math]

ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}} }[/math]. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.