88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל אבר בה גדול או שווה לקודמו (קטן או שווה לקודמו)

דוגמאות

• [math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\ldots }[/math]

• [math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,\ldots }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\ldots }[/math]

משפט

סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{3n} }[/math]

פתרון

נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\le0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}\\ a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1n\le\frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1n=0\end{align} }[/math]

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\gt 0 }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ a_1=\alpha,b_1=\beta }[/math] . כעת נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל אבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

[math]\displaystyle{ \begin{align}a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\end{align} }[/math]

הוכח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון

אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי אברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולים בהתאמה מאברי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (פרט אולי לאבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאברים הראשונים, כל אברי הסדרות הנם אי-שליליים.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_n\cdot b_n}=\dfrac{a_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)^2}{2}\ge0 }[/math]

אם כך, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\le\dfrac{a_n+a_n}{2}=a_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת. כמו כן

[math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ b_2\le b_n\le a_n\le a_2 }[/math]

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

תרגיל.

יהי [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] . נגדיר סדרה על-ידי נוסחת הנסיגה

[math]\displaystyle{ \begin{cases}a_1=c\\a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}\end{cases} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2}-\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_{n-1}^2}{2}\right)=\dfrac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2} }[/math]

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_2-a_1=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c^2}{2}-c=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{c}{2}\lt 0 }[/math]

(זה נכון כיון ש- [math]\displaystyle{ c^2\lt c\cdot1=c }[/math] לפי הנתון [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] .)

נניח, אם כן, כי [math]\displaystyle{ a_n-a_{n-1}\lt 0 }[/math] ונוכיח כי [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\lt 0 }[/math] . כיון שכל אברי הסדרה חיוביים (כל אבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל [math]\displaystyle{ a_n^2\lt a_{n-1}^2 }[/math] .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}\lt 0 }[/math]

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי 0 (הרי אבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.

טענה חשובה אך קלה לבדיקה: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} }[/math] . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי [math]\displaystyle{ L }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \lim a_n=L }[/math] . נביט בנוסחת הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{a_n^2}{2} }[/math]

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}\right] }[/math]

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

[math]\displaystyle{ \begin{align}L=\dfrac{c}{2}+\dfrac{L^2}{2}\\L^2-2L+c=0\\L=1\pm\sqrt{1-c}\end{align} }[/math]

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- [math]\displaystyle{ a_1=c\lt 1\lt 1+\sqrt{1-c} }[/math] ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו [math]\displaystyle{ L=1-\sqrt{1-c} }[/math]