88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/הופכית

חזרה לפונקציות

נגזרת של פונקציה הופכית

תהי [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math] פונקציה חח"ע ועל (כאשר A,B קבוצות של מספרים ממשיים). אזי הפונקציה ההופכית

[math]\displaystyle{ f^{-1}:B\rightarrow A }[/math]

מוגדרת היטב ומתקיים

[math]\displaystyle{ \Big( f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)} }[/math]

הוכחה

[math]\displaystyle{ \Big( f^{-1}\Big)'(x_0):=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{x-x_0} }[/math]

כמו כן,

[math]\displaystyle{ \frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}=\lim_{x\rightarrow f^{-1}(x_0)}\frac{x-f^{-1}(x_0)}{f(x)-f\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}= \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)}{f(f^{-1}(x))-f\Big(f^{-1}(x_0)\Big)}=\Big( f^{-1}\Big)'(x_0) }[/math]