88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/משפט קושי

משפט ערך הביניים המוכלל

יהיו [math]\displaystyle{ f(x),g(x) }[/math] פונקציות רציפות בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירות בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] .

אם [math]\displaystyle{ g(x)\ne 0 }[/math] שמה אזי קיים [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} }[/math] .

תרגיל: הוכח כי לכל [math]\displaystyle{ x,y\in[0,\frac{\pi}{3}] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|\tan(x)-\tan(y)\Big|\le 8\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big| }[/math]

פתרון: נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\tan(x)\ ,\ g(x)=\sin(x) }[/math] .

לפי משפט ע"ב המוכלל [math]\displaystyle{ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\lt c\lt y }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\frac{f'(c)}{g'(c)}\right|=\left|\frac{\frac{1}{\cos^2(c)}}{\cos(c)}\right|=\left|\frac{1}{\cos^3(c)}\right|\le\left|\frac{1}{\cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right|=8 }[/math]