88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/תרגילים מדמח/בוחן לדוגמא

1

מצאו את גבול הסדרות הבאות והוכיחו:

א (15 נק')

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{1+\sqrt{a_n}} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math]

ב (15 נק')

[math]\displaystyle{ b_n=\sqrt[n^2]{n!} }[/math]

2 (25 נק')

קבעו אם הטור מתכנס בהחלט/בתנאי/ מתבדר והוכיחו:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty (-1)^n\frac{1}{n+(-1)^n} }[/math]

(רמז: קחו זוגות של איברים)

3

א (15 נק')

קבעו אם הטור מתכנס בהחלט/בתנאי/ מתבדר והוכיחו:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty\frac{(1-3n^2)^n}{(n-1)^n(n+1)^n(1+\frac{1}{n})^{n^2}} }[/math]

ב (15 נק')

קבעו אם הטור מתכנס בהחלט/בתנאי/ מתבדר והוכיחו:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{3^{n^2}}{(n!)^3} }[/math]

4 (35 נק')

הוכיחו/הפריכו:

הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לאפס אם"ם לכל תת סדרה שלה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] יש תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}} }[/math] עבורה מתקיים שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_{n_{k_j}} }[/math] מתכנס