88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/תרגילים תיכון/1

1

מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויונים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)\gt 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

ב

[math]\displaystyle{ |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| \gt 2x }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ (x-1)|x-1| \gt 1 }[/math]

ד

[math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x} \gt 0.5 }[/math]

2

נגדיר שתי פונקציות

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x\lt 0\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x-1 & x\gt 1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases} }[/math]

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ f(x+1)\gt 0 }[/math]

ב

• [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)| \lt x }[/math]

3

הוכח את הנוסחאות הבאות באמצעות אינדוקציה או בכל דרך נכונה אחרת:

א

[math]\displaystyle{ 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2 }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ 1^2+2^2+...+n^2\lt \frac{(n+1)^3}{3} }[/math]

ד

[math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}\gt 1 }[/math]