המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] , ותהי [math]\displaystyle{ E }[/math] קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ E }[/math] סגורה

הוכחה

על־מנת להוכיח כי [math]\displaystyle{ E }[/math] סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ r }[/math] היא נקודת הצטברות של [math]\displaystyle{ E }[/math] אזי היא גם גבול חלקי של [math]\displaystyle{ E }[/math] .

נניח [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודת הצטברות של [math]\displaystyle{ E }[/math] , לכן לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים גבול חלקי הקרוב ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \frac2n }[/math] (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין [math]\displaystyle{ r }[/math] ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק [math]\displaystyle{ \frac2n }[/math] מ־[math]\displaystyle{ r }[/math] ולכן היא ודאי מתכנסת ל־[math]\displaystyle{ r }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right) }[/math]

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1 }[/math]

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות כי [math]\displaystyle{ \tan }[/math] מונוטונית באזור [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן [math]\displaystyle{ \tan(0)=0 }[/math] והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.

ב

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)} }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ e^\frac{1}{\log(n)}\to1 }[/math] ולכן הטור מתבדר.

ג

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3} }[/math]

בערך מוחלט זה קטן מ־[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3} }[/math] . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3} }[/math] שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 3

ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה

שאלה 4

זהה וסווג נקודות אי־רציפות:

א

[math]\displaystyle{ (x^2-1)\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right) }[/math]

נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] . ב־[math]\displaystyle{ 0^+ }[/math] , [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty }[/math] . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. [math]\displaystyle{ x^2-1\to -1 }[/math] ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הנה ממין שני.

בנקודה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] וזו נקודת אי־רציפות סליקה.

ב

[math]\displaystyle{ f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor }[/math]

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ x }[/math] . אזי עבור [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור [math]\displaystyle{ 1\lt |x|\lt 2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=\pm 1 }[/math] הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מצד אחד ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מהצד השני). באופן דומה לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי מתקיים ש[math]\displaystyle{ \pm n }[/math] הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.

ג

[math]\displaystyle{ \tan\left(\frac{1}{\log(x^2)}\right) }[/math]

ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] , הלוגריתם שואף ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log(x^2)}\to 0 }[/math] ולכן הגבול כולו הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] וזו נקודת אי־רציפות סליקה.

ב־[math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] הלוגריתם שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולכן מצד אחד [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log} }[/math] שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות ממין שני.

במקומות בהם [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k }[/math] הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt{e^\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}} }[/math]

שאלה 5

האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?

א

[math]\displaystyle{ e^{-|\tan(x)|} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) }[/math]

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע [math]\displaystyle{ |\tan(x)|\to\infty }[/math] ולכן סה"כ הגבולות הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

[math]\displaystyle{ \log\big(2+\cos(x)\big) }[/math] בכל הממשיים.

[math]\displaystyle{ 2+\cos(x) }[/math] רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע [math]\displaystyle{ [1,3] }[/math] . בקטע הזו [math]\displaystyle{ \log }[/math] רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ג

[math]\displaystyle{ \cos\big(\log(x)\big) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

ניקח שתי סדרות ששואפות ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ועל השניה [math]\displaystyle{ -1 }[/math], וזה יסתור רציפות במ"ש. [math]\displaystyle{ y_n=e^{-2\pi n-\pi} }[/math], [math]\displaystyle{ x_n=e^{-2\pi n} }[/math]

שאלה 6

נגזרות

שאלה 7

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ותהי נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in (a,b) }[/math]

א

הוכח שאם קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x_0)=L }[/math] .

לפי הגדרה [math]\displaystyle{ f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] . ברור כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0 }[/math] ומכיון ש־ [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אזי גם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0 }[/math] . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל [math]\displaystyle{ \frac{f'(x)}{1}\to L }[/math] ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

ב

מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}f'(x) }[/math]

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac1x\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases} }[/math] . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־ [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , נוכיח שהיא גם גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] .

[math]\displaystyle{ f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0 }[/math]

לכן ערך הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] . מהו גבול הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־[math]\displaystyle{ 2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right) }[/math] . לכן גבולה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] לא קיים ([math]\displaystyle{ 0 }[/math] ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

שאלה 8

תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] . הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f' }[/math] חסומה על כל תת־קטע סגור של [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] .

הפרכה

למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases} }[/math]

היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה [math]\displaystyle{ 2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac2x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) }[/math] . נביט בסדרה השואפת לאפס [math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}} }[/math] עליה מקבלים [math]\displaystyle{ f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to-\infty }[/math] ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-0.5,0.5] }[/math] .