88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 2

תרגיל 2

שאלה: כשכתוב "אינטגרל קווי" הכוונה לאינטגרל מסוג שני, ואינטגרל וקטורי זה ראשון?

באיזה סוג של אינטגרלים האינטגרנד הוא פונקציה סקלרית ובאיזה פונקציה וקטורית?--Grisha 22:08, 10 באוגוסט 2011 (IDT)

2 שאלות כלליות

[1] האם קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ f : \R^n \rightarrow \R }[/math] בעלת נגזרות חלקיות במלבן שאינה רציפה במלבן? במקרה שמדובר בנקודה בודדת בה קיימות נגזרות חלקיות קל להפריך, אך במקרה שקיימות הנגזרות בקבוצה שלמה האם עדיין ניתן?

[2] האם קיימת פונקציה בעלת נגזרת בכל כיוון בנקודה (נאמר, בראשית) שאינה רציפה בנקודה?

תרגיל 3 סעיף ג'

האם לא נפלה טעות בשאלה? לאחר מעבר למשתנה t מקבלים אינטגרל בלתי פתיר בפונקציות אלמנטריות.

    מותר להשתמש בפונקצייה erf שמוגדרת כאן: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function. 
    רוב התוכנות שמחשבות אאינטגרלים כמו MAPLE או Wolfram Alpha משתמשות בפונקצייה הזו.
    אכן את erf אי אפשר לכתוב בעזרת פונקציות אלמנטריות, למרות שקל לקרב אותה בעזרת טור טיילור.
           [ ברק ]

האם מותר להשתמש בתוכנות לחישוב אינטגרלים פשוטים במשתנה אחד?

מותר להשתמש בתוכנות רק תוודאו שאתם יודעים לחשב את האינטגרלים גם ללא שימוש בתוכנות. אנו מצפים בפתרון תרגיל הבית לראות את הפתרון המלא ולא רק התשובות הסופיות. --Grisha 14:55, 12 באוגוסט 2011 (IDT)

אז מותר להגיע לאינטגרל בנעלם אחד ולרשום ישר את הפונקציה הקדומה, נכון?

שאלה

לאורך כל התרגיל, רוב האינטגרלים בלתי פתירים בעליל או דורשים עבודה טכנית רבה ומסובכת, שאינה מטרת הקורס(?). האם כוונתכם הייתה שנשתמש בתוכנות מסוימות לפתירת אינטגרלים, כאשר אנו מגיעים לשלב סופי יחסית?

חוץ מאשר שאלה 3 ג' אין אף אינטגרל מסובך מדי, וגם ב-3 ג' הוא דיי פשוט עם ERF (ראה שאלות למעלה). אפשר להשתמש בתוכנות אם רוצים. אף אחד מהאינטגרלים לא אמור להיות מסובך מדי. [ברק]

שאלה 4 סעיף ג'

שימו לב שהאינטגרל לא קיים. לפונקציה (2t+1)*tan(t^2+t) יש נקודת אי רציפות מסדר שני על הקטע [0,1] והאינטגרל עליה בקטע הזה אינו מתכנס. האם זאת הייתה כוונתכם?

למען האמת זו טעות הקלדה. היה אמור להיות (tan((x+y)/2 , תודה שעלית עליה. [ברק]

התרגיל המתוקן נמצא באתר.--Grisha 15:03, 12 באוגוסט 2011 (IDT)

שאלה 5 סעיף א'

במשפט גרין, המסילה היא עם או נגד כיוון השעון? בדיקה פשוטה מראה שצריך להחליף את הסדר של הפרש הנגזרות (לקחת את הנגזרת של v לפי x פחות הנגזרת של u לפי y, במקום מה שמופיע כרגע.)

האם צריך להחליף את הסדר שבו מופיעות הפרש הנגזרות? התרגיל לעוד יומיים, אשמח לקבל תשובה.

   השאלה מנוסחת בתור הוכח או הפרך. אם זה נכון תוכיח, אם זה לא נכון תפריך.
   ככה גם אם הייתה טעות בניסוח של התרגיל הוא עדיין פתיר (פשוט מוכיחים במקום להפריך או להיפך).
   הניסוח יישאר כמו שהוא הפעם.[ברק]

שאלה 1 סעיף ב'

כשאמרתם ש-f "בעל נגזרות חלקיות" התכוונתם שהנגזרות החלקיות שלו מוגדרות לכל ערך שנציב בהן או שאפשר לבחור f שהנגזרות שלה לא מוגדרות עבור ערכים מסויימים?

אם נגזרת של f לא מוגדרת (אפילו בנקודה אחת) לא נוכל להגיד ש- f בעלת נגזרות חלקיות.

   בעלת נגזרות חלקיות אומר בעלת נגזרות חלקיות בכל המרחב. [ברק]