88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 10

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ (X,\mathcal S,\mu) }[/math] ממ"ח, ויהיו [math]\displaystyle{ 1 \le r\lt p\lt \infty }[/math].

הוכיחו כי לא בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ L^p(X,\mathcal S,\mu) \subseteq L^r(X,\mathcal S,\mu) }[/math] וגם כי ההכלה ההפוכה, [math]\displaystyle{ L^r(X,\mathcal S,\mu) \subseteq L^p(X,\mathcal S,\mu) }[/math] אינה בהכרח נכונה.

שאלה 2

נניח כי [math]\displaystyle{ \mu(X)=1 }[/math], [math]\displaystyle{ f,g:X \to [0,\infty] }[/math] פונקציות מדידות ואי-שליליות המקיימות [math]\displaystyle{ fg \ge 1 }[/math] כב"מ ([math]\displaystyle{ d \mu }[/math]). הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \left( \int_X f \, d\mu \right) \left( \int_X g \, d \mu \right) \ge 1 }[/math].

שאלה 3

כזכור, [math]\displaystyle{ \ell^\infty }[/math] הוא מרחב כל הסדרות [math]\displaystyle{ \textbf{x}=\{ x_n \}_{n=1}^\infty }[/math] המקיימות [math]\displaystyle{ \| \textbf{x} \|_\infty:=\sup_n | x_n |\lt \infty }[/math]. נגדיר תת מרחב [math]\displaystyle{ X \subseteq \ell^\infty }[/math], להיות מרחב כל הסדרות שמתאפסות פרט למספר סופי של אינדקסים. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ X }[/math] אינו בנך.

בהצלחה!