88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 2

שאלה 1

הוכיחו כי לכל קטע בעל מידה חיובית יש תת קבוצה לא מדידה. (הסתמכו על התרגיל הקודם).

שאלה 2

א. הוכיחו שקבוצת קנטור הטרנארית [math]\displaystyle{ C }[/math] (זו מהתרגול) היא קומפקטית.

ב. הוכיחו שהפְּנים של קבוצת קנטור הוא ריק (קבוצות כאלה נקראות "קבוצות דלילות").

ג. הראו שקבוצת קנטור אינה איחוד בן-מנייה של קטעים סגורים (סעיף זה מראה שקבוצה סגורה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] אינה בהכרח איחוד בן מנייה של קטעים סגורים - בניגוד למקרה של קבוצה פתוחה וקטעים פתוחים)

ד. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} \in C }[/math], למרות שרבע הוא אינו קצה של אף קטע בקבוצות [math]\displaystyle{ C_n }[/math] (רמז: נסו לפתח את רבע בבסיס 3).

שאלה 3

תהי [math]\displaystyle{ X }[/math] קבוצה כלשהי, ו- [math]\displaystyle{ \Sigma \subseteq \mathcal{P}(X) }[/math] אוסף תתי הקבוצות של [math]\displaystyle{ X }[/math] שהן בנות מנייה, או שהמשלים שלהן בן מנייה (כלומר [math]\displaystyle{ E \in \Sigma }[/math] או"א [math]\displaystyle{ E }[/math] בת מנייה, או [math]\displaystyle{ X\setminus E }[/math] בת מנייה).

א. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] היא [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-אלגברה מעל [math]\displaystyle{ X }[/math].

ב. נגדיר [math]\displaystyle{ \mu : \Sigma \rightarrow [0,\infty] }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ \mu \left( E \right)=\begin{cases} 0&|E| \leq \aleph_0 \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases} }[/math]. הוכיחו כי זו מידה.

שאלה 4

יהי [math]\displaystyle{ (X,\Sigma,\mu) }[/math] ממ"ח.

א. הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ \left( E_n \right)_{n=1}^\infty }[/math] היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר [math]\displaystyle{ E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots }[/math]), ואם [math]\displaystyle{ \mu \left(E_1 \right)\lt \infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \mu \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right) }[/math]

(הדרכה: נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)

ב. הראו שהדרישה [math]\displaystyle{ \mu \left( E_1 \right)\lt \infty }[/math] היא הכרחית (כלומר אם נוותר עליה, נוכל למצוא דוגמא נגדית).

בהצלחה!