88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ (X,S) }[/math] מרחב מדיד, ותהי [math]\displaystyle{ E \subseteq X }[/math]. הוכיחו:

[math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ \iff }[/math] פונקציית האינדיקטור [math]\displaystyle{ I_E:X \rightarrow \mathbb{R} }[/math] היא מדידה.

שאלה 2

בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים [math]\displaystyle{ (i),(ii),(iii),(iv) }[/math] יתקיים לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math]. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:

אם [math]\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R} }[/math] תת קבוצה צפופה של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ \alpha \in E }[/math] אחד מהתנאים [math]\displaystyle{ (i),(ii),(iii),(iv) }[/math] מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.

רמז: לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math] יש סדרת נקודות [math]\displaystyle{ \left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty }[/math] ב-[math]\displaystyle{ E }[/math] המתכנסת אליה.

שאלה 3

יהיו [math]\displaystyle{ (X,S) }[/math] מ"מ, [math]\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R} }[/math] מדידה, ו-[math]\displaystyle{ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] היא פונקציה מדידה.

(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות [math]\displaystyle{ \sin(2x),\cos(x)+1 }[/math] מהתרגול הן מדידות).

שאלה 4

תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):

א. [math]\displaystyle{ A=\{ x \in \mathbb{R}:f^3(x)\lt x \} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ B=\{x \in \mathbb{R}: f^2(x)+e^{f(x)}\lt f(x)+e^x \} }[/math]

שאלה 5

יהי [math]\displaystyle{ (X,S) }[/math] מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם [math]\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R} }[/math] מדידה ומקיימת [math]\displaystyle{ f(x) \neq 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{f} :X \rightarrow\mathbb{R} }[/math] גם היא מדידה.

בהצלחה!