88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 4

שאלה 1

הוכיחו את ההכללה הבאה של התוצאה שהבאנו בתרגול. נדרש רק שינוי קל של ההוכחה שניתנה:

יהיו [math]\displaystyle{ (X,d),(Y,\rho) }[/math] מרחבים מטריים, [math]\displaystyle{ U \subseteq X }[/math] קבוצה פתוחה, ו- [math]\displaystyle{ f:U \to Y }[/math] פונקציה כלשהי. הראו כי קבוצת הנקודות בהן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה היא מטיפוס [math]\displaystyle{ G_\delta }[/math]

שאלה 2

א. תזכורת: למת פאטו אומרת שאם לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ f_n:X \to [0,\infty] }[/math] מדידה, אזי [math]\displaystyle{ \liminf f_n \ge 0 }[/math] מדידה, ומתקיים [math]\displaystyle{ \int_X \liminf f_n \, d\mu \leq \liminf \int_X f_n \, d\mu }[/math]

תנו דוגמא לסדרת פונקציות בממ"ח [math]\displaystyle{ ([0,1],L(\mathbb{R}) \cap [0,1],m) }[/math] שבה האי שוויון בלמת פאטו הוא [math]\displaystyle{ 0 \leq 1 }[/math].

רמז: בנו סדרה של פונקציות חסומות ורציפות למקוטעין [math]\displaystyle{ \{ f_n \} }[/math] המקיימות [math]\displaystyle{ f_n \to 0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \int_{[0,1]} f_n \, d\mu=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].

ב. האם משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג נכון גם לגבי סדרת יורדת של פונקציות מדידות ואי שליליות? (כלומר [math]\displaystyle{ \infty \ge f_1 \ge f_2 \ge \dots \ge 0 }[/math]). אם כן הוכיחו ואם לא תנו דוגמא נגדית.

שאלה 3

א. חשבו את הגבול הבא: (אתם רשאים להניח שהשיטות לחישוב אינטגרלים מאינפי', כמו המשפט היסודי, עובדות גם עבור אינטגרלי לבג)

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_0^n \frac{n \sin \frac{x}{n}}{x(1+x^2)} \, dm(x) }[/math]

רמז: כדי להראות עליה ב-[math]\displaystyle{ n }[/math], התייחסו ל-[math]\displaystyle{ n }[/math] כמשתנה רציף והראו כי הנגזרת של הביטוי לפיו אי-שלילית, כל עוד [math]\displaystyle{ x \in (0,n) }[/math]. הסתמכו על כך שאם [math]\displaystyle{ t \in [0,1] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \tan(t) \ge t }[/math].

ב. הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(p+k)^2}=\int_0^1 \frac{x^p}{x-1} \log x \, dm(x) }[/math].

רמז: משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג.

רמז נוסף: טור הנדסי.

בהצלחה!