88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 8

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ f:[0,10] \to \mathbb R }[/math] הפולינום [math]\displaystyle{ f(x)=3x^4-56x^3+336x^2-768x+1100 }[/math].

א. שרטטו את הגרף של הפולינום בקטע [math]\displaystyle{ [0,10] }[/math].

ב. לכל [math]\displaystyle{ x \in [0,10] }[/math], חשבו את ההשתנות הטוטאלית [math]\displaystyle{ T_0^x[f] }[/math]. יש למצוא ביטוי מפורש! (אולי כדאי להציג כפונקציית piecewise). הוסיפו את הגרף של [math]\displaystyle{ T_0^x[f] }[/math] לאיור מסעיף א' (ותדאגו שיהיה ניתן להבחין ביניהם).

ג. עבור [math]\displaystyle{ n \in \mathbb N }[/math] נגדיר את [math]\displaystyle{ P_n |[0,10] }[/math] להיות חלוקה אחידה של הקטע [math]\displaystyle{ [0,10] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ 2^n }[/math] קטעים. (למשל [math]\displaystyle{ P_1:0\lt 5\lt 10,P_2:0\lt 2.5\lt 5\lt 7.5\lt 10 }[/math])

חשבו את [math]\displaystyle{ v(f,P_n) }[/math] לדיוק של 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לכל [math]\displaystyle{ 1 \le n \le 6 }[/math].

ד. עד כמה קרוב [math]\displaystyle{ v(f,P_6) }[/math] להשתנות האמיתית [math]\displaystyle{ T_0^{10}[f] }[/math] שמצאתם בסעיף ב'?

ה. תנו חלוקה [math]\displaystyle{ P|[0,10] }[/math] בת ארבעה קטעים, ש"תופסת" את כל ההשתנות של [math]\displaystyle{ f }[/math]. (כלומר [math]\displaystyle{ v(f,P)=T_0^{10}[f] }[/math]).

הערה: בשאלה הזו מומלץ (וגם כדאי) להעזר במחשב.

שאלה 2

נגדיר את הפונקציות [math]\displaystyle{ f,g:[0,1] \to \mathbb R }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x},g(x)=\begin{cases} x^2 |\sin \frac{1}{x} | & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} }[/math]. הוכיחו כי הפונקציות [math]\displaystyle{ f,g }[/math] שתיהן רציפות בהחלט בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ובכל זאת ההרכבה שלהן [math]\displaystyle{ f \circ g:[0,1] \to \mathbb R }[/math] איננה רציפה בהחלט.

הדרכה:

א. בשביל להראות ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בהחלט, אפשר להוכיח שהיא מקיימת את נוסחת ניוטון-לייבניץ [math]\displaystyle{ f(x)-f(0)=\int_0^x f' \, dm }[/math] ואת זה אפשר להראות עם התכנסות מונוטונית.

ב. כדי להראות ש-[math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה בהחלט, הוכיחו את הטענה: אם [math]\displaystyle{ f \in AC([a,b]) }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ |f| \in AC([a,b]) }[/math].

ג. כדי להראות שההרכבה אינה רציפה בהחלט, אפשר לפנות לכיוון של השתנות חסומה.

שאלה 3

יהי [math]\displaystyle{ [a,b] \subset \mathbb R }[/math] קטע סגור וחסום. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ BV([a,b]) }[/math] הוא מרחב וקטורי. (כלומר סגור ביחס לכפל בסקלר וחיבור פונקציות). מה ניתן לומר לגבי כפל בין פונקציות?

שאלה 4

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ורציפה בהחלט בקטע [math]\displaystyle{ [\varepsilon,1] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math].

א. הראו כי ייתכן ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה רציפה בהחלט בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]

ב. הראו כי אם בנוסף [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה, אז היא רציפה בהחלט ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]

בהצלחה!