88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 9

שאלה 1

יהיו הממ"חים [math]\displaystyle{ (X,\mathcal S,\mu)=(Y, \mathcal T, \nu)=(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \#) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \# }[/math] היא מידת הספירה.

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:X \times Y \to \mathbb R }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ f(m,n)=\begin{cases} 2-2^{-m} & m=n\\ -2+2^{-m} & m=n+1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} }[/math].

א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה [math]\displaystyle{ X \times Y }[/math]?

ב. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ f }[/math] מדידה במרחב המכפלה.

ג. הוכיחו כי מתקיים [math]\displaystyle{ \int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(m) \right] \, d\#(n) \neq \int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(n) \right] \, d\#(m) }[/math]

ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.

שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א)

א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה [math]\displaystyle{ u \times v }[/math].

ב. צטטו את משפט טונלי.

ג. נניח ש-[math]\displaystyle{ (X,\mathcal S, u) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (Y,\mathcal T,v) }[/math] הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות [math]\displaystyle{ u }[/math] ו-[math]\displaystyle{ v }[/math] שלימות ו-[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה [math]\displaystyle{ w=u \times v }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ E \subseteq X \times Y }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ dw }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ w(E)=0 }[/math].

הוכיחו שלכמעט כל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] הקבוצה [math]\displaystyle{ E_x=\{y \in Y: (x,y) \in E \} }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ v(E_x)=0 }[/math].

יש לפתור רק את סעיף ג'

שאלה 3 (בונוס בשווי 15 נקודות)

השתמשו בזהות [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy} dy }[/math] ובמשפט פוביני כדי לחשב את [math]\displaystyle{ \int_0^b \int_0^\infty e^{-xy} \sin{x} \,dy \,dx }[/math] בשתי דרכים שונות.

ע"י זה הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{\sin x}{x} \,dx=\frac{\pi}{2} }[/math].

אינטגרל שימושי: [math]\displaystyle{ \int e^{au} \sin u \,du= \frac{e^{au} \left(a \sin u -\cos u \right)}{1+a^2}+C }[/math]

הערה: האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום [math]\displaystyle{ dm(x),dm(y) }[/math] במקום [math]\displaystyle{ dx,dy }[/math].

שאלה 4

יהי [math]\displaystyle{ X }[/math] אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים [math]\displaystyle{ p: \mathbb R \to \mathbb R }[/math]. ברור כי [math]\displaystyle{ X }[/math] הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).

לכל פולינום [math]\displaystyle{ p \in X }[/math] נגדיר את [math]\displaystyle{ \| p \| }[/math] להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של [math]\displaystyle{ p }[/math].

האם [math]\displaystyle{ \| \cdot \| }[/math] היא נורמה על [math]\displaystyle{ X }[/math]? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?

שאלה 5

יהי [math]\displaystyle{ (X,\| \cdot \|) }[/math] מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי [math]\displaystyle{ Y \le X }[/math] תת מרחב סגור. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ (Y,\| \cdot \|) }[/math] הוא מרחב בנך.