מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1

חזרה לתרגיל

דוגמא.

מצא עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים אי-השוויון הבא:

• [math]\displaystyle{ |x^2-1|+|x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון.

על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

חלוקה למקרים

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

• [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\ge1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ x-2\ge0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math]

ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

• עבור [math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\ge0 }[/math]

• עבור [math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\ge0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

• עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\lt 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים

נבדוק עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.

• עבור [math]\displaystyle{ x\ge2 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x^2-1+x-2\gt 4x+5\\x^2-3x-8\gt 0\end{align} }[/math]

נמצא מהם ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8\gt 0\end{cases} }[/math]

ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם

[math]\displaystyle{ x\gt \dfrac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

לכן ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר גם נמצאים בתחום וגם אינם מקיימים את אי-השוויון הם

[math]\displaystyle{ 2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים בדיוק מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

• עבור [math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}x^2-1-(x-2)\gt 4x+5\\x^2-5x-4\gt 0\end{align} }[/math]

מסתבר שערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math]

ואילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ 1\le x\lt 2 }[/math]

נסיים במקרה הנותר:

• עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] אי-השוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ \begin{align}-x^2+1-x+2\gt 4x+5\\x^2+5x+2\lt 0\end{align} }[/math]

ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] אשר גם נמצאים בתחום וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt \dfrac{\sqrt{17}-5}{2} }[/math]

ואילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:

[math]\displaystyle{ \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x\lt 1 }[/math]

סיכום התוצאות

אי-השוויון מתקיים עבור ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] הבאים:

• [math]\displaystyle{ \begin{align}x&\gt \dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&\lt \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align} }[/math]