משפט לייבניץ

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

תהי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

• הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n }[/math] מתכנס
• השארית [math]\displaystyle{ R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ |R_k|\le |a_{k+1}| }[/math]

הוכחה

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math], צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] .

• [math]\displaystyle{ \Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg| }[/math]

נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

[math]\displaystyle{ -a_{m-1}\lt a_m-a_{m-1}\lt 0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ a_{m-2}-a_{m-1}\lt a_m-a_{m-1}+a_{m-2}\lt a_{m-2}+0 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ 0\lt a_m-a_{m-1}+a_{m-2}\lt a_{m-2} }[/math]

וכן הלאה עד שנקבל

[math]\displaystyle{ \Big|S_m-S_n\Big|\lt a_{n+1} }[/math]

וכיון ש- [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] (ללא תלות ב- [math]\displaystyle{ m }[/math]).

לפי טיעון דומה, [math]\displaystyle{ \left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1} }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ |R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1} }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]