סיווג נקודה חשודה

הגדרת נקודה חשודה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית. נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת חשודה אם [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- [math]\displaystyle{ x }[/math] .

סיווג נקודות חשודות

משפט: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הגזירה ברציפות [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . עוד נניח כי

[math]\displaystyle{ \begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align} }[/math]

אזי:

• אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת מינימום מקומי.
• אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת מקסימום מקומי.
• אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] אי-זוגי אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת פיתול.

הוכחה:

לפי טיילור לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] בין [math]\displaystyle{ x }[/math] לבין [math]\displaystyle{ a }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

אבל לפי ההנחה כי [math]\displaystyle{ n }[/math] הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] , מתקיים

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

לכן, אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] בה [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}\gt 0 }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)\ge0 }[/math]

שכן [math]\displaystyle{ (x-a)^{(n+1)}\ge0 }[/math] תמיד עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] זוגי.

כלומר אם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x }[/math] הנה נקודת מינימום.

באופן דומה, אם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x }[/math] הנה נקודת מקסימום.

אם [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] אי-זוגי, אזי הסימן של [math]\displaystyle{ (x-a)^{(n+1)} }[/math] חיובי בסביבה ימנית של [math]\displaystyle{ a }[/math] ושלילי משמאלה.

כיון שסימן [math]\displaystyle{ f^{(n+1)} }[/math] קבוע בסביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] , סה"כ מצד אחד [math]\displaystyle{ f(x)\gt f(a) }[/math] ומהצד השני [math]\displaystyle{ f(x)\lt f(a) }[/math] .

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] ולכן המשיק הוא [math]\displaystyle{ y=f(a) }[/math] , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] הנה נקודת פיתול.