הצגת המקור של הדף "תרגול 5 תשעז"

==קבוצות==

:הגדרה (לא מדוייקת):
'''קבוצה''' הינה אוסף של איברים שונים. בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות:

<math>\{1,horse,3\}</math>,    <math>\{1,2,3\}</math>     ו<math>\{1,\{2,3\},\{\}\}</math>


איבר ה'''שייך''' לקבוצה אנו מסמנים בסימן <math>\in</math>. למשל <math>1\in\{1,2,3\}</math>, ואילו <math>4\notin\{1,2,3\}</math>. שימו לב שגם <math>1\notin\{\{1,2,3\}\}</math> שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math>.


*אומרים שקבוצה A '''מוכלת''' בקבוצה B (מסומן <math>A \subseteq B</math>) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB. בשפה מדויקת, A מוכלת בB אם מתקיים <math>\forall a\in A: a\in B</math>.

:דוגמא:
<math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>
כאשר 
::<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}</math> המספרים הטבעיים
::<math>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}</math> המספרים השלמים
::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} : m,n\in \mathbb{Z},n\neq 0\}</math> המספרים הרציונאלים (שברים)
::<math>\mathbb{R}</math> המספרים הממשיים ("כל המספרים" על הישר)
::<math>\mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\}</math> המספרים המרוכבים

*'''חיתוך''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים גם לA וגם לB (מסומן <math>A\cap B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cap B \iff (a\in A \and a\in B)</math>.

*'''איחוד''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים לA או לB (מסומן <math>A\cup B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cup B \iff (a\in A \or a\in B)</math>.

*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.

*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A/B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math>

דוגמא:

יהיו <math>A=\{1,2,\{1\}\},B=\{1,\{2\}\},C=\{2,\{1,2\}\}</math> קבוצות.

אזי:

<math>A\cup B =\{1,2 ,\{1\},\{2\}\} </math>

<math>(A\cup B)\cap C =\{2\} </math>

<math> B \cap C = \emptyset</math>

<math>C \backslash A =\{\{1,2\}\}</math>

<math> B \Delta C = B \cup C</math>

<math> A \Delta C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>


תכונות האיחוד והחיתוך (דומה לכפל וחיבור)
*אסוציאטיביות: <math>(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)
*חילוף: <math>A\cap B = B\cap A</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)
*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math>

===תרגיל===
הוכח כי <math>(A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C)</math>. במילים: האיברים שהם (גם בA וגם בB) או בC הם בדיוק האיברים ב(A או C) וגם ב(B או C)

====פתרון====
נראה שקילות בין התנאים של איבר להיות באחת הקבוצות.

<math>x\in (A\cap B)\cup C \iff [x\in (A\cap B)] \or [x\in C] \iff [x\in A \and x\in B] \or [x\in C]</math>

כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(q\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.
(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם r=1 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה
<math>1\iff 1</math> אם r=0 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה
<math>(p\land q)\iff (p)\land (q)</math>)

===תרגיל===
הוכח כי:
א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A

ב. <math>\phi \cap A = \phi  </math>

ג.  <math>\phi \cup A = A  </math>

====פתרון====
א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\phi : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר. 
הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

ב. <math>\phi \cap A =  \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math>

ג. <math>\phi \cup A =  \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math>

===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
'''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A_1,A_2,\ldots,A_{17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

'''הגדרה:'''
יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך: 

<math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math>

<math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \;  A_n:=[n,n+1]</math> אזי 

<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math>

<math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi  </math>