הצגת המקור של הדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"

==1==
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:


*<math>tan(x) < 0</math>
<math>tan(x)={sin(x) \over cos(x)}</math> לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: <math>-{\pi \over 2} + \pi k < x < \pi k</math>


*<math>sin(x)<cos(x)</math>
מתקיים שוויון כאשר <math>x={\pi \over 4} + \pi k</math>. עד <math>\pi \over 4</math> הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד <math>5\pi \over 4</math> בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של <math>2\pi</math>. לכן אי השוויון מתקיים עבור <math>-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k</math>


*<math>e^{sin(x)} < 1</math>
נסמן <math>y=sin(x)</math> ונבדוק מתי <math>e^y<1</math>. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור <math>sin(x)=y<0</math>. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור <math>-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k</math>


*<math>(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0</math>
נפתח סוגריים ונקבל: <math>sin(x)^2-cos(x)^2>0</math>. ניעזר בזהות <math>sin(x)^2+cos(x)^2=1</math> ונגיע לאי השוויון: <math>2sin(x)^2-1>0</math>. מכאן נעביר אגפים ונקבל <math>sin(x)^2>{1 \over 2}</math> והפתרון שלו הוא <math>sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}</math> או <math>sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}</math>. זה מתקיים עבור: <math>{\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k</math>


*<math>sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0</math>
נציב <math>y=\pi \cdot cos(x)</math> ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור <math>2\pi k < y < \pi + 2\pi k</math>. לכן <math>2k<cos(x)<1+2k</math>.

אם <math>k>0</math>: נקבל <math>2 < cos(x)</math> וזה לא יתכן.

<math>k<0</math>: נקבל <math>cos(x)<-1</math> וזה גם לא יתכן.

עבור <math>k=0</math>: אי השוויון הוא <math>0<cos(x)<1</math> וזה מתקיים לכל <math>-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k</math>


==2==
הוכח:

*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>
נסמן <math>z_1=x_1+y_1 \cdot i , z_2=x_2+y_2 \cdot i</math>. נחשב את אגף שמאל:

<math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i)} = \overline{(x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i}=(x_1 x_2 - y_1 y_2) - (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i</math>

נחשב את אגף ימין: <math>\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(x_1-y_1 \cdot i) \cdot (x_2-y_2 \cdot i) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)-(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i</math>

בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.


*<math>|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
<math>|z_1\cdot z_2|=|(x_1 x_2 -y_1 y_2)+(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i| =\sqrt{ (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 +x_2 y_1)^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math>

אגף ימין: <math>|z_1|\cdot |z_2| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math>

שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון


*<math>Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2}</math>
<math>\frac{z+\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i + x - y \cdot i}{2} = \frac{2x}{2}=x=Re(z)</math>


*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>
<math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math>


==3==
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:


*<math>1+i</math>
<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>

<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 4}</math>

לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 4})</math>


*<math>(1-i)^{-1}</math>

<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>

זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{4})</math>


*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>

ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:<math>(1+i)(2-3i)</math>. נפתח סוגריים ונקבל: <math>(2+3)+(-3+2)i</math>. סה"כ הצורה הקרטזית היא <math>5-i</math>

הצורה הפולארית: <math>r=\sqrt{26}</math>

<math>\varphi = arctan(\frac{-1}{5}) \approx -11^\circ</math>

לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{26}\cdot cis(-11^\circ)</math>


*<math>cis(\frac{\pi}{2})</math>

נמצא את הצורה הקרטזית: <math>x=cos(\frac{\pi}{2})=0 , y=sin(\frac{\pi}{2})=1</math>

לכן המספר שווה לi


*<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math>

<math>x=2cos(1006\pi)=2cos(0)=2</math>

<math>y=2sin(1006\pi)=2sin(0)=0</math>

לכן המספר שווה ל2