הצגת המקור של הדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 8"

== שאלה 1 ==
יהי <math>f:[0,10] \to \mathbb R</math> הפולינום <math>f(x)=3x^4-56x^3+336x^2-768x+1100</math>.

א. שרטטו את הגרף של הפולינום בקטע <math>[0,10]</math>.

ב. לכל <math>x \in [0,10]</math>, חשבו את ההשתנות הטוטאלית <math>T_0^x[f]</math>. יש למצוא ביטוי מפורש! (אולי כדאי להציג כפונקציית piecewise). הוסיפו את הגרף של <math>T_0^x[f]</math> לאיור מסעיף א' (ותדאגו שיהיה ניתן להבחין ביניהם).

ג. עבור <math>n \in \mathbb N</math> נגדיר את <math>P_n |[0,10]</math> להיות חלוקה אחידה של הקטע <math>[0,10]</math> ל-<math>2^n</math> קטעים. (למשל <math>P_1:0<5<10,P_2:0<2.5<5<7.5<10</math>) 

חשבו את <math>v(f,P_n)</math> לדיוק של 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לכל <math>1 \le n \le 6</math>.

ד. עד כמה קרוב <math>v(f,P_6)</math> להשתנות האמיתית <math>T_0^{10}[f]</math> שמצאתם בסעיף ב'? 

ה. תנו חלוקה <math>P|[0,10]</math> בת ארבעה קטעים, ש"תופסת" את כל ההשתנות של <math>f</math>. (כלומר <math>v(f,P)=T_0^{10}[f]</math>).

'''הערה:''' בשאלה הזו מומלץ (וגם כדאי) להעזר במחשב.


== שאלה 2 ==
נגדיר את הפונקציות <math>f,g:[0,1] \to \mathbb R</math> ע"י <math>f(x)=\sqrt{x},g(x)=\begin{cases} x^2 |\sin \frac{1}{x} | & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}</math>. הוכיחו כי הפונקציות <math>f,g</math> שתיהן רציפות בהחלט בקטע <math>[0,1]</math>, ובכל זאת ההרכבה שלהן <math>f \circ g:[0,1] \to \mathbb R</math>''' איננה''' רציפה בהחלט.

'''הדרכה:'''

א. בשביל להראות ש-<math>f</math> רציפה בהחלט, אפשר להוכיח שהיא מקיימת את נוסחת ניוטון-לייבניץ <math>f(x)-f(0)=\int_0^x f' \, dm</math> ואת זה אפשר להראות עם התכנסות מונוטונית.

ב. כדי להראות ש-<math>g</math> רציפה בהחלט, הוכיחו את הטענה: אם <math>f \in AC([a,b])</math> אזי גם <math>|f| \in AC([a,b])</math>.

ג. כדי להראות שההרכבה אינה רציפה בהחלט, אפשר לפנות לכיוון של השתנות חסומה.


== שאלה 3 ==

יהי <math>[a,b] \subset \mathbb R</math> קטע סגור וחסום. הוכיחו כי <math>BV([a,b])</math> הוא מרחב וקטורי. (כלומר סגור ביחס לכפל בסקלר וחיבור פונקציות). מה ניתן לומר לגבי כפל בין פונקציות?


== שאלה 4 ==
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה ב-<math>[0,1]</math> ורציפה בהחלט בקטע <math>[\varepsilon,1]</math> לכל <math>0 < \varepsilon < 1</math>.

א. הראו כי ייתכן ש-<math>f</math> אינה רציפה בהחלט בקטע <math>[0,1]</math>

ב. הראו כי אם בנוסף <math>f</math> עולה, אז היא רציפה בהחלט ב-<math>[0,1]</math>

בהצלחה!