הצגת המקור של הדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"

{{הערה|את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}=
'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.

'''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים.
*: עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
* נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>.
*: ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

=אינטגרל לא אמיתי, סוג II=
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>). לכן נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.
==דוגמאות==
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>.
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
# דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>.


----


לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

'''הנחה קבועה:''' למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math>.

==משפט 1==
אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
==משפט 2==
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.

==משפט 3==
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.

==משפט 4==
אם <math>f(x)\ge0</math> אז האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.

==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.

<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11|הרצאה שאחריה]]:}}

==משפט 6 {{הערה|(מבחן ההשוואה הגבולי)}}==
נניח ש-<math>f(x),g(x)\ge0</math> ונניח שקיים ממש <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
===מסקנה===
אם בפרט <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0</math> אז <math>\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f</math> מתכנסים ומתבדרים יחדיו.

==משפט 7==
האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>

==משפט 8==
אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס בהחלט אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.


----


באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה <math>[a,b)</math> (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f</math>). כמו כן, אם f מוגדרת ב-<math>(a,b)</math> ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדרים <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> עבור <math>c\in(a,b)</math> כלשהו ונאמר ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f</math> מתכנסים.

אם f מוגדרת ב-<math>[a,b]</math> למעט איזו נקודת בייניים <math>c\in(a,b)</math> שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.