הצגת המקור של הדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.


== לפני שמתחילים ==
בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי  <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.

'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.'''

'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

== שיטה ראשונה (טרטליה) ==

נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p/3</math>. 

'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.

'''הוכחה:''' נציב ונבדוק:

<math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math>

'''מש"ל.'''

כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.


== שיטה שנייה (מאוחרת יותר) ==

בבב