הצגת המקור של הדף "פונקציה רציפה במידה שווה"

[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]

==משפט==
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

===הוכחה===
תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות

::<math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math>

::<math>|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0</math>


לכן קיימת תת סדרה כך ש:

::<math>|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})|\rightarrow a \neq 0</math> 

(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

::<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש

::<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.