הצגת המקור של הדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"

חזרה ל[[סיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)]]


''הערה:''
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, <math>V</math> הוא מרחב וקטורי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>, וכן <math>dim V=n</math>.
בנוסף, <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>.


'''הגדרה:'''

העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow V</math> (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.


'''הגדרה:'''

תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.


'''הגדרה:'''

אוסף כל הערכים העצמיים של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.

''הערה:''
יכול להיות המצב <math>spec(A)=\varnothing</math>.


'''משפט:'''

<math>\lambda=0</math> הוא ע"ע של <math>A</math> אם ורק אם <math>A</math> אינה הפיכה.

''הערה:''
<math>A</math> אינה הפיכה אם ורק אם <math>det(A)=0</math>.


'''משפט:'''

<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של מטריצה <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math> אם ורק אם <math>det(\lambda I-A)=0</math>.


'''דוגמות למציאת ע"ע:'''

''1. <math>A=I_n</math>.''

שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.