הצגת המקור של הדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"

==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון==
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <math> c\geq a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 </math>.

אזי מתקיים:

<math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x  \Leftarrow</math> מתכנס

<math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x  \Leftarrow</math> מתבדר

<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.''' 
</font>

קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר

'''פתרון.'''
נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

===מבחן ההשוואה הגבולי===

יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
<math>\forall_{x\geq a}:f(x),g(x)>0</math>

יהי הגבול:
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

'''אזי:'''

אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.

אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.



===דוגמאות===
[[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]]