הצגת המקור של הדף "פונקציה רציפה במידה שווה"

פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

==משפט==
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

===הוכחה===
תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות
:<math>|x_n-y_n|\to 0</math>
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math>
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math> 
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה
:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-
:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

[[קטגוריה:אינפי]]