הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר"

=חומרי עזר=

*[[88-113Exams| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]


=סרטונים ותקצירי הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-umgzN7d5aFNXSWaddo-BgU הפלייליסט של כל הסרטונים]

==פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה==

===מכפלה סקלרית===

<math>v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)</math>

<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>

===מכפלה פנימית===
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>

מכפלה פנימית היא מכפלה <math>\langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F}</math> המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי:

*אדטיביות <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle</math>
*כפל בסקלר <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math>
*הרמיטיות <math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}</math>
*אי שליליות <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math> וכן <math>\langle x,x\rangle =0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>


<videoflash>JEfRTZj1sPE</videoflash>


<math>\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle</math>


<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>

===נורמה ונורמה מושרית===

יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>

נורמה היא פונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי:

*אי שליליות <math>||x|\geq 0</math> וכן <math>||x||=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>
*כפל בסקלר <math>||cx|| = |c|\cdot ||x||</math>
*אי שיוויון המשולש <math>||x+y||\leq ||x||+||y||</math>



<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>


====נורמה מושרית====
יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא:

:<math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math>

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב - 

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש.



=====הנורמה המושרית היא אכן נורמה=====

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.


כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי

:<math>||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||</math>


לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

===מכפלה פנימית מושרית===

*האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

*האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך [[מכפלה פנימית מושרית]].

==פרק 2 - המרחב הניצב==

*משפט הפירוק הניצב
*בא"נ והיטלים
*אי שיוויון בסל
*משפט פיתגורס
*גרם שמידט

==פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים==

==פרק 4 - צורת ז'ורדן==

==פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי==

==פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה==