לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
הלמה של צורן
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הלמה של צורן == === ניסוח === תהי <math>X</math> '''קבוצה סדורה חלקית''' (קבוצה עם יחס סדר חלקי <math>\le</math>). תת-קבוצה <math>C</math> של <math>X</math> הסדורה קוית (כל שני איברים של <math>C</math> ניתנים להשוואה) נקראת '''שרשרת'''. '''דוגמאות:''' אם <math> x_1< x_2 < \cdots</math> אז <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> היא שרשרת, שבה לכל איבר יש עוקב מיידי. אבל בדרך כלל אין זה המצב. למשל, המספרים הרציונליים מהווים שרשרת שבה אין לאף איבר עוקב מיידי. המספרים הממשיים הם שרשרת שאינה בת מניה. '''הלמה של צורן'''. תהי <math>X</math> קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל שרשרת (לא ריקה) ב-<math>X</math> יש חסם מלעיל. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי. '''הערות''' # הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X</math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה. # אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי. # במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי. # מבחינה אינטואיטיבית, אפשר לבצע את התהליך של ההערה הקודמת גם במקרה ש <math>X</math> קבוצה אינסופית. כאן, מופיע מרכיב נוסף: לאחר שבחרנו איברים <math>x_1<x_2<x_3<\cdots</math>, ייתכן שאף אחד מהם אינו מקסימלי. זה המקום שעלינו להשתמש בתנאי של הלמה של צורן, האומר שלכל שרשרת, ובפרט לשרשרת הזו, יש חסם מלעיל. נקרא לו, למשל, <math>x_\omega</math>. כעת אפשר להמשיך את התהליך של בחירת איברים יותר ויותר גדולים, ואם לא ניעצר, נקבל שוב שרשרת, ושוב יהיה לה חסם מלעיל, ושוב אפשר להמשיך. בכל צעד, מוסיפים לשרשרת איבר חדש של X. לכן, התהליך חייב להיעצר מתישהו לפני שהקבוצה <math>X</math> "נגמרת". כיון שהקבוצה אינסופית, לא ברורה המשמעות של הטיעון הזה כל עוד לא מפתחים מנגנון עבור בניה באינדוקציה מעבר למקרה הבן מניה. כיון שאין כאן המקום להאריך בזה, ניתן במקום זאת הוכחה בצורה אחרת. === הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות === כדי להפעיל את הלמה של צורן יש להראות (אחרי שמוודאים שהקבוצה <math>X</math> אינה ריקה) שלכל שרשרת יש חסם מלעיל. אם <math>X</math> היא משפחה של קבוצות, זה עשוי להיות קל במיוחד. אנו אומרים ש-<math>X</math> '''סגורה לאיחוד של שרשראות''' אם לכל שרשרת <math>C \subseteq X</math>, האיחוד <math>\bigcup_{A \in C} A</math> של כל הקבוצות בשרשרת שייך ל-<math>X</math>. (שוב, אם <math>X</math> היתה סדורה לינארית, אפשר היה לקחת את האיחוד של כל הקבוצות ב-<math>X</math>; אלא שבכל המקרים המעניינים, <math>X</math> אינה לינארית, ואפילו אינה סגורה ביחס לאיחוד סופי של סתם שני אברים). '''הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות:''' תהי <math>X</math> משפחה לא ריקה של קבוצות, הסגורה לאיחוד של שרשראות. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי. הוכחת הלמה של צורן תובא בהמשך. ראשית, נראה דוגמאות ליישומיה החשובים.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)