לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משפט ערך הביניים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==משפט ערך הביניים== <videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash> תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>f(a)<y<f(b)</math> או <math>f(a)>y>f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=y</math> . ===הוכחה=== ראשית, נוכיח משפט חלש יותר: תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> . כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math> .) '''הוכחה:''' נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0</math> סיימנו. אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right]</math> או <math>I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע. נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם). אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b]</math> כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה :<math>\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c)</math> אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר :<math>f(c)=0</math> כפי שרצינו. כעת נשוב למקרה הכללי. נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>f(a)<f(b)</math> . נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-y</math> . כיון ש- <math>y</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)<0</math> . לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>g(c)=0</math> , כלומר <math>f(c)=y</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:אינפי]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)