לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=התכנסות במ"ש של טורים {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמה== נבנה פונקציה S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר <math>f_1(x)=|x|</math> בקטע <math>[-1,1]</math> עם המשך מחזורי בכל <math>\mathbb R</math>: [[קובץ:פונקצית ערך מוחלט מחזורית.png|620px]] לכן <math>f_1(x+2)=f_1(x)</math> וכן אם <math>x\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_1'(x)\in\{\pm1\}</math>, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר <math>f_2(x)=\frac14f_1(4x)</math> ואז <math>f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x)</math> וכן אם <math>\frac x4\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_2'(x)\in\{\pm1\}</math>. נמשיך להגדיר <math>f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)</math> ולכן <math>f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x)</math> ואם <math>\frac x{4^n}\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}</math>. לבסוף, נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> אזי S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> (כי כל <math>f_n</math> רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: <math>|f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n}</math> ו-<math>\sum\frac1{4^n}</math> מתכנס). ''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-<math>1</math>, עם ערכים לא מוגדרים באמצע. ''הוכחה נכונה:'' נאמר ששתי נקודות שונות <math>x_1,x_2\in\mathbb R</math> מקיימות את התכונה <math>P_1</math> הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_1</math> (למשל הקטע <math>[0,1]</math>, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע <math>[-3,-2]</math> וכו'). אם <math>x_1,x_2</math> מקיימות זאת אזי <math>\frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות תכונה <math>P_n</math> אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_n</math>. במקרה כזה <math>\frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נשים לב שאם הנקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות <math>P_n</math> אז הן מקיימות <math>P_{n-1}</math>, ובהכללה <math>P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1</math>. כעת יהי <math>x\in\mathbb R</math> נתון ונוכיח כי <math>S'(x)</math> לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה <math>\{h_m\}</math> כלשהי כך ש-<math>0\ne h_m\to0</math> לא קיים הגבול <math>\lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}</math>. נבחר <math>h_m=\frac2{4^m}</math> אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> מקיימות <math>P_m</math>, ו-<math>h_m=-\frac2{4^m}</math> אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות <math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m</math> כי אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> לא מקיימות <math>P_m</math> אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של <math>f_m</math>. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-<math>f_m</math> הוא <math>\frac4{4^m}</math> ולכן <math>x,x-\frac2{4^m}</math> כן מקיימות <math>P_m</math>. כמו כן ברור כי <math>0\ne h_m\to0</math>. מתקיים <math>\forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}</math>. כיוון ש-<math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1</math> מתקיימת לכל <math>1\le n\le m</math> הטענה <math>\frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}</math>. עבור <math>n>m</math> המחזור של <math>f_n</math> הוא <math>\frac2{4^{n-1}}</math>. אם <math>n>m</math> אז <math>h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1}</math> הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן <math>f_n(x+h_m)=f_n(x)</math>, ומכאן ש-<math>\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0</math>. לפיכך לכל m נקבל <math>\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0</math>. כאשר <math>m\to\infty</math> הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)