לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=האינטגרל לפי דרבו {{הערה|(המשך)}}= ==משפט 8== נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע <math>[a,c]</math> ונניח ש-<math>a<b<c</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[b,c]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,c]</math>, ואם כן מתקיים <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. ===הוכחה=== <math>\implies</math>: נתונה f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[b,c]</math>. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> וחלוקה Q של <math>[b,c]</math> ונגדיר <math>R=P\cup Q</math> (כלומר R חלוקה של <math>[a,c]</math>). לכן מתקיים <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math>. נשאיף <math>\lambda(P),\lambda(Q)\to0</math>. לפי הנתון <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\overline S(f,Q)\to\int\limits_b^c f</math>, לכן <math>\overline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באותו אופן נקבל <math>\underline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. הראנו ש-<math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)\to0</math> ולכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,c]</math>. ע"פ משפט 4 נסיק <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. <math>\Longleftarrow</math>: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math> ו-<math>\underline S(f,R)=\underline S(f,P)+\underline S(f,Q)</math>. נחסיר ונקבל: <math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)=\overline S(f,P)-\underline S(f,P)+\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)</math>. כעת, אם <math>\varepsilon>0</math>, האינטגרביליות של f על <math>[a,c]</math> גוררת שעבור <math>\lambda(P)</math> ו-<math>\lambda(Q)</math> מספיק קטנים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P),\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)<\varepsilon</math>. קיום חלוקה P כזאת לכל <math>\varepsilon>0</math> מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וקיום חלוקה Q - ב-<math>[b,c]</math>. השיוויון <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> נובע מהחלק הקודם. {{משל}} ===הכללה=== אם <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>. ההוכחה באינדוקציה. '''מוסכמות''': # <math>\int\limits_a^a f=0</math> # אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math> (אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, <math>\int\limits_b^a</math> לא מוגדר עבור <math>a\le b</math>) עם מוסכמות אלה יתקיים: <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_c^a f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_c^b f=-\int\limits_b^c f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שגורר <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. ==משפט 9== תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. ===הוכחה=== יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע כי {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}</math>}}נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} ===מסקנה 1=== המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-<math>(a,b)</math>. ===מסקנה 2=== נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. ====הוכחה==== עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}} [[קובץ:פונקציה רציפה למקוטעין.png|ימין|ממוזער|300px|דוגמה לפונקציה רציפה למקוטעין]] '''הגדרה:''' אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אז היא אינטגרבילית שם.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)