לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=יישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= <ol start="5"> <li> ==שטח המטעפת של גוף סיבוב (ללא הבסיסים)== [[קובץ:חרוט קטום.png|שמאל|100px]][[קובץ:קירוב שטח פנים של גוף סיבוב.png|ימין|400px|ממוזער|בסרטוט חילקנו את הקטע ל-6 קטעים ובכל קטע בנינו חרוט קטום שרדיוס הבסיס הימני שלו הוא <math>f(x_k)</math> ושיפוע היוצר העובר בנקודה <math>(x_k,f(x_k),0)</math> הוא <math>f'(x_k)</math>.]]נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים ובכל קטע נחסום חרוט קטום (חרוט קטום הוא חרוט שהוסר ממנו הקודקוד ע"י "חיתוך" חלק בעזרת מישור המקביל לבסיס). שטח המעטפת של החרוט הקטום הוא <math>\pi(r_1+r_2)S</math> כאשר <math>r_1,r_2</math> רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הנוצר בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, כלומר <math>f(x_k)-f'(x_k)\Delta x_k,f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math> הוא אורך היוצר (יוצר של חרוט קטום הוא קו ישר המחבר בין נקודה על שפת אחד הבסיסים לנקודה הקרובה ביותר לה בשפת הבסיס השני). לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום {{left|<math>\begin{align}&\sum_{k=1}^n\pi(2f(x_k)-f'(x_k)\Delta x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k=\\=&\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k-\sum_{k=1}^n\pi f'(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k^2\end{align}</math>}}כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף ל-<math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx-0</math> וזה שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x. ===דוגמה=== נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}{{משל}} [[קובץ:היקף מעגל הוא נגזרת השטח.png|ימין|200px]]נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. נסביר זאת באמצעות הסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו-<math>\Delta A</math> היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי <math>\Delta A\approx2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייק: <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dr}=2\pi r</math>. ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע [[קובץ:היקף ריבוע אינו נגזרת השטח.png|100px]] ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math>: ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור <math>b=\frac a2</math> ההיקף הינו <math>8b</math> והשטח - <math>4b^2</math>, ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח. [[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png|ימין|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים <math>\frac ar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>aS=r\Delta x</math>. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>\pi\left(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}\right)S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א, בכל קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך <math>S</math> יווצר שטח <math>2\pi r\Delta x_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x_k)^2}</math>. כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע <math>[-r,r]</math> כך שלכל קטע <math>\Delta x_k\to0</math> יבנה שטח כולל <math>2\pi r\sum\Delta x-\sum0=2\pi r(r-(-r))=4\pi r^2</math>, כפי שציפינו. </li> <li> ==חישוב עבודה== בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>. כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>. </li> <li> ==העבודה שווה לשינוי באנרגיה הקינטית== החוק השני של ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא {{left|<math>\begin{align}W&=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx\\&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx\\&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align}</math>}} ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית. ''הסבר לנוסחה'' <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>: כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. </li> </ol>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)