לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= '''תזכורת:''' בהרצאה הקודמת הוכחנו ש-<math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> לכל <math>x\in(-1,1)</math> והערנו שאם ניתן להציב <math>x=1</math> נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}</math>. כמו כן אמרנו ש-<math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> עבור <math>x\in(0,2)</math> ושאם מותר להציב <math>x=2</math> אזי <math>\ln(2)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}</math>. ==משפט 5 {{הערה|(משפט אבל)}}== נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> בקטע <math>(-1,1)</math> ו-<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> מתכנס ל-<math>S\in\mathbb R</math>, אזי <math>\lim_{x\to1^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S. ===הוכחה=== נעזר בסכימה בחלקים: נסמן <math>S_N=\sum_{n=0}^N a_n</math> ולכן <math>\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N</math> כאשר <math>-1<x<1</math>. לפי הנתון <math>S=\lim_{N\to\infty}S_N</math>, ולכן אם <math>0<x<1</math> אז <math>\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0</math> ועבור <math>0\le x\le 1</math> מתקיים <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n</math>. כמו כן, <math>\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n</math> (כי <math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math>). לכן <math>S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty Sx^n</math> ומכאן שעבור <math>x\in[0,1)</math> מתקיים <math>f(x)-S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty(S_n-S)x^n</math>. נרצה להוכיח ש-<math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון ומכיוון ש-<math>\lim_{n\to\infty}S_n=S</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים <math>|S_n-S|<\frac\varepsilon2</math>. נסמן <math>I_1=(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}(S_n-S)x^n</math> וכן <math>I_2=(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty(S_n-S)x^n</math>, לכן <math>f(x)-S=I_1+I_2</math>. עתה <math>|I_2|\le(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty|S_n-S|x^n<\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty x^n\le\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac\varepsilon2</math>. לגבי <math>I_1</math> נגדיר <math>M=\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math> ולכן <math>|I_1|\le(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math>. עתה <math>x\to1^-</math> ולכן <math>0<1-x<\frac\varepsilon{2M}</math>, לכן <math>|I_1|\le\frac\varepsilon{2M}M=\frac\varepsilon2</math>. לסיכום הוכחנו שאם <math>1-\frac\varepsilon{2M}<x<1</math> אזי <math>|f(x)-S|<|I_1|+|I_2|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>. {{משל}} ===מסקנה=== לגבי טור חזקות כללי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות R: # אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> מתכנס ל-S אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S. # אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> מתכנס ל-T אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה ל-T. ====הוכחה==== # נציב <math>y=\frac{x-x_0}R</math> ולכן <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(a_nR^n\right)y^n</math> עבור <math>|x-x_0|<R</math>, כלומר עבור <math>|y|<1</math>. נגדיר <math>g(y)=f(x)</math> ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים <math>\lim_{y\to1^-}g(y)=S</math>, לכן <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)=S</math>. {{משל}} # נציב <math>y=\frac{x-x_0}{-R}</math> ונוכיח כמו בסעיף 1. {{משל}} ==משפט 6 {{הערה|(משפט דיני)}}== נניח שלכל n <math>f_n</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל <math>x\in[a,b]</math> הסדרה <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math> עולה או לכל <math>x\in[a,b]</math> הסדרה <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math> יורדת. כמו כן ידוע כי <math>f_n\to f</math> ו-f רציפה ב-<math>[a,b]</math>, אזי ההתכנסות במ"ש. ===הסבר=== לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים: * אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע <math>(0,1)</math> ואת סדרת הפונקציות <math>f_n(x)=x^n</math>. ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה <math>f(x)=0</math>, אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש. * בקטע סגור <math>[0,1]</math> נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math> שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש. * [[קובץ:פונקציה בין 0 ל-1.png|ממוזער|300px|ימין]]נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש. * נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}x^n&0\le x<1\\0&x=1\end{cases}</math> ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש. ===הוכחה=== במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו ויירשראס יש תת סדרה <math>\{x_{k_l}\}</math> מתכנסת, נאמר ל-<math>x_0\in[a,b]</math>. לפי הבנייה הנ"ל מתקיים <math>\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math> ומכיוון ש-<math>\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0</math> קיים <math>l_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>l>l_0</math> יתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2</math>. <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> פונקציה רציפה שקטנה מ-<math>\frac\varepsilon2</math> ב-<math>x_0</math> ולכן יש סביבה S של <math>x_0</math> שבה <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> קטנה מ-<math>\varepsilon</math>. ה-<math>g_n</math> יורדות ולכן לכל <math>l>l_0</math> ולכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon</math>, אבל לפי הבנייה <math>x_{k_l}\to x_0</math> ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon</math>, בסתירה לכך שלכל l מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math>. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה. במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)