לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= '''תזכורת:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-<math>f_n\to f</math> במידה שווה ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>. ==הערה== אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון. ==משפט 1== יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים: * <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I * <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|=0</math> ===הוכחה=== ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש. לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> עבור <math>x\in I</math>. {{משל}} ==דוגמה== [[קובץ:גרף חזקות שונות של x.png|ממוזער|300px|ימין]] בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>. נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1\ne0</math>. {{משל}} נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}} ==משפט 2== נניח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)</math> במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. אזי גם f רציפה ב-<math>x_0</math>. ===הוכחה=== יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon3</math>. <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac\varepsilon3</math> נובע שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon</math>. {{משל}} ===מסקנה=== בתנאים של משפט 2, אם כל <math>f_n</math> רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו. ===דוגמה=== בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש. ==משפט 3== נניח שלכל n <math>f_n</math> מוגדרת ואינטגרבילית ב-<math>I=[a,b]</math> ונניח שקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. ===הוכחה=== לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}} ===דוגמה=== [[קובץ:פונקציה בין n ל-0.png|300px|ימין]] משמאל נתונה הפונקציה <math>f_n</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. נוכיח כי <math>\forall x\in[0,1]:\ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>: עבור <math>x=0</math> לכל n <math>f_n(0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(0)=0</math>. אם <math>x\in(0,1]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\frac2{n_0}<x</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\frac2n<\frac2{n_0}<x</math>, מה שגורר כי <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. {{משל}} נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי <math>\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>. נוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית): לכל n {{left|<math>\int\limits_0^1 f_n=</math> השטח מתחת לגרף <math>=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0</math>}} {{משל}} השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. * נוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\frac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0</math>. * נוכיח <math>f_n'\not\to0'=0</math>: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}} ==משפט 4== תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע I. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in I</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-I. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in I</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-I. יתר על כן <math>\forall x\in I:\ f'(x)=g(x)</math>. ===הוכחה=== נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-I וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in I</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על I. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-I וכיוון שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in I</math>. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)