לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 7 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות== ===תמונות חלקיות=== '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}=\{ y\in Y|\exists a\in A: f(a)=y\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{x\in X|f(x)\in B\}</math>. שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>). ==== דוגמאות ==== תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18))</math> תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}(Y)=X</math> תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2)</math> ==== תכונות ==== # אם <math>A_1\subseteq A_2</math> אזי <math>f(A_1)\subseteq f(A_2)</math> # אם <math>B_1\subseteq B_2</math> אזי <math>f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)</math> '''תרגיל.''' הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי: א. <math>f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)</math>. ב. <math>f(A)\cap f(B)\supseteq f(A\cap B)</math>. '''פתרון.''' א. נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: <math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> ב. <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math> '''הערה''' אם <math>f</math> חח"ע אז יש שיוויון! ===תרגיל=== תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע '''פתרון.''' יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f(A)</math> ולכן <math>a\in f^{-1}(f(A))</math>. נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע: יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> ===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)=== יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>. בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח). '''פתרון.''' 1. ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. 2. ''' f חח"ע אמ"מ g על ''' בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> ) בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> כיוון ש g על קיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> לכן <math> \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B </math> ולכן <math>\{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}</math> לכן <math>\{y,x\}\subseteq \{x\}</math> כלומר <math>x=y</math>. סתירה. מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות: * '''ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו''' (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1) * '''יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו'''. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2) * '''ייתכן ו-f על אך g אינה כזו ''' (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2) * '''ייתכן ו-g על אך f אינה כזו ''' (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1) אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל למשל: יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. ===תרגיל=== תהי <math>f:X\rightarrow X</math> פונרציה. נקודת שבת של <math>f</math> היא <math>x\in X:f(x)=x</math> נגדיר <math>A=\{x\in X|f(x)=x\}</math>. הוכיחו או הפריכו: א. <math>f[A]=A</math>. ב. <math>f^{-1}[A]=A</math>. ג. לכל <math>B\subseteq X</math> נקבל: <math>f[B]\subseteq B</math> אמ"ם קיים <math>b\in B</math> נקודת שבת. ====פתרון==== א. הוכחה: <math>a\in A\iff f(a)=a\iff a\in f[A]</math>. ב. הפרכה: מספיק שיש עוד מישהו מחוץ ל-A שנלשח לA. ג. הפרכה: <math>f:\{ 0,1\} \rightarrow \{ 0,1\}</math> המוגדרת <math>f(a)=1-a</math> מקיימת עבור הקבוצה עצמה שיוויון אך אין נק' שבת. ===פונקציה מצומצמת=== '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש-<math>f|_A(a)=f(a)</math>. '''דוגמא.''' נביט ב-<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע. '''תרגיל.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-<math>f|_A</math> חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math>). '''פתרון.''' נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math> כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y | y\in Im(f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>. '''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)